理論編 例：一様分布に従う2 つの確率変数の和 確率変数の変換 同時確率密度関数 確率変数のとりうる領域 領域の書き方補足 周辺確率密度関数 参考 理論編 確率変数の同時確率密度関数(joint pdf)をとする。この時、をと変数変換(change of variables)するこ…

おまけを10種類揃えるには？ おまけが全部で25種類の、とあるお菓子がある 一個税込143円である 25種類中欲しいのは10種類 1種類目が当たる確率は 2種類目が当たる確率は … 10種類目が当たる確率は 一般に、確率のものを引き当てるために必要となる購入回数…

単位根を持つ時系列の例 を可視化、および階差をとって可視化してみる。時系列データ分析p.98 より。 一次元ランダムウォーク 一次元ランダムウォークの階差 ADF検定の結果 ADF検定は単位根の有無を検定するもので、帰無仮説は「データ系列に単位根が存在す…

gihyo.jp ということで、本書に出てくる統計的仮説検定をまとめます。 Shapiro-Wilkの検定 データが正規分布に従っているか否かの検定 正規性の検定 帰無仮説：対象データが正規分布に従う p.61 連の検定 ２値のデータの並びについて規則性の有無を確かめる…

統計学実践ワークブック第15章にて、"指数分布(λ)はガンマ分布(1, 1/λ)である"、というワンフレーズでつまずいたので、 復習を兼ねてポエムです。なお、以下の議論において、厳密性は度外視している。 ガンマ関数 定義 性質1: Γ(1) = 1 性質2: Γ(s) = (s-1)Γ…

統計学実践ワークブック問14.2より。 問題の概要 状態空間S = {1,2,3} マルコフ連鎖 X = (Xn)を以下に定める Xが状態iにあるとき、カードを１枚ランダムに引く。取り出したカードが a_i であれば状態iにとどまる a_j であれば 確率c_ij = min( j/i, 1 ) で状…

二項分布の正規近似は闇が深いっぽいので、深追いせず流れだけを書いておくメモです。 ↓↓ 正規近似 as n→∞↓ 実はここで色々厄介な近似をしているらしい。↓ たとえばスターリングの公式など。↓↓ ↓↓ Xを標準化(平均値引いて標準偏差で割る)↓↓ ↓↓ 確率変数の分…

統計学実践ワークブックの問6.1〔4〕は、いわゆる切断正規分布の問題である。このキーワードでググると良い。 なお、期待値を求めるために確率変数 のモーメント母関数を計算しようとすると怪我をする？ので、素直に から定義通り期待値を求めましょう。 202…

厳密さを捨てて大略理解できれば良いぐらいの証明です。 準備 正規分布のモーメント母関数 確率変数 が に従う時、モーメント母関数 は、 とくに、のとき、 指数関数の底eの極限 テイラー展開 とくに、 逆数 中心極限定理 示したいこと 確率変数 が平均、分…

統計学実践ワークブック問5.5より。 問題の概要 4種類のカードを等確率無作為復元抽出で引く。 [1] 4種類のカードを全て揃えるまでの、回数の期待値 [2] あらたに5種類目のカードが追加されたとする。 x: はじめの4種類を集めてから、追加の5種類目を揃える…

統計学実践ワークブック問4.2より。指数分布の和の分布を求めた時の教訓・感想です。 オチ・教訓・流れ 指数分布は再生性を持っていない 指数分布のモーメント母関数を求めて掛け算しても、元の分布がよく分からない形に。。 なので畳み込み積分で和の分布を…

以下のような二変量正規分布を考える。 ここで、 というZについて、 を計算すると、 となる。 ゆえにX,Y,Zは正規分布に従う確率変数であることから、ZとYは共分散が0⇔ZとYは独立となる。 次に、 ] を計算する。ここで を用いると、 となる。*1 最後に、 ] を…

適合度検定 :: 株式会社アイスタット｜統計分析研究所より「適合度の検定（正規性）の結果」をRにて計算してみる。 # パラメータ#### # 平均 m1 <- 64.5 # 標準偏差 sd1 <- 13.41 # 度数の総和 n <- 40 # 関数 #### # 区間a<x<bにおける標準正規分布に従うXの確率、を返す関数 f <- function(l,h){ pnorm(h,m1,sd1) - pnorm(l,m1,sd1) } # データ # 観測値：observed #### c(2,4,7,13,10,3,1) -> obs # 期待度数expected #### n *</x<bにおける標準正規分布に従うxの確率、を返す関数>…

準1級 例題／解説 の問2より。 ある地域における１日の死亡者数の集計結果表 １日の死亡者数Xがパラメータλのポアソン分布に従うと仮定する。ある日の死亡者数が3人である確率は？ に於いて、λ=3を代入すればよい。 同分布を仮定した時、E[X2] とλの関係は？…

厳密ではないが、カイ二乗分布の再生性やコクランの定理から言えるのではないでしょうかね(無責任)。 導出 Xᵢ ~ N(μ,σ²)に従うiid確率変数とする。 このとき、Zᵢ = (Xᵢ-μ)/σと変換すると、 Z²=ΣZᵢ² over 1 to nはχ²(n) に従う。 ここで、 Σ(Xᵢ-μ)² = Σ{(Xᵢ-X…

スマホで文字打ち込んでいるのでLaTeXに出来ませんがまぁご愛嬌。 ポアソン分布の確率関数 Pr(X=k) = exp(-θ)θ^k/k! ただしk は0以上の整数 ポアソン分布の期待値 E[X] = θ ポアソン分布の期待値の導出 overはΣの添字が走る範囲です。またexp(θ)=Σθ^h/h! ove…

あけましておめでとうございます今年も統計学とRの勉強を継続します。 ということで、いつもの通り(?)Yuyaさんの動画にて階層的クラスタリングを見たので、Rを使ってクラスタリングしてみます。 www.youtube.com コード # データの準備 dd <- data.frame( ht…

やること 『統計学』東京図書 p.147 練習問題 問5.1の[2]、多変量正規分布の条件付き期待値・条件付き分散を解きます。 問題 が平均ベクトル、分散共分散行列が正値対称行列 の時、X = xおよびZ = zを与えた下でのYの 条件付き期待値 条件付き分散 を求めよ…

タイトルの通りです。 lmで単回帰直線 平均と分散共分散からE[Y|X=x] *1を計算 の２通りで回帰直線を引きます。 コード library(MASS) library(scales) options(digits = 3) # 平均 mx <- 10 my <- 22 # 分散 Sx <- sqrt(9) Sy <- sqrt(16) Sxy <- sqrt(9.6)…

やること 離散型確率分布 X p 17 0.3 -1 0.7 に於いて、大きさn=100の標本を抽出する時、 和S の標本分布について、Sの平均、標準誤差 平均M の標本分布について、Mの平均、標準誤差 をそれぞれ 計算 モンテカルロ シミュレーション によりそれぞれ求める。 …

結論 確率変数においてそれぞれ確率をとる時、標準偏差SD(X)は となる。ここで||は絶対値の記号である。 どこで見つけたか edXのprobabilityの教科書？であるChapter 14 Random variables | Introduction to Data Science や ここである。 *1 *2 計算例 離散…

手計算でもaovでも一元配置分散分析は出来るので、Rで実装してみようと思った次第です。F分布の累積分布を除いてほぼほぼベクトル演算？を使っています。データは水準の繰り返し数のトータルから適当に生成しています。統計学的観点はほぼ０です。 実装 # デ…

母比率の信頼区間 ２次不等式を解く 式変形 具体例で検証 公式を用いる ２次不等式を解いた結果を用いる 参考 母比率の信頼区間 母比率 の母集団からサイズの標本を抽出する。このとき標本割合 について、 は近似的に平均、分散 の正規分布 に従う。ただし、…

東京大学出版会『統計学入門』 の p.145 図7.5 ２次元正規分布 について、与えられたパラメータから楕円群(等高線の式)を導出する。 パラメータ , 二次元正規分布の確率密度関数 代入 を計算すると、となるので、確率密度関数に代入するとexpの中身は として…

www.asahi.com 動機 面白いニュースを見かけたので計算してみましたなポストです。記事のこの部分に注目しました。 ６回のくじにはそれぞれ制限価格で入札した３～８の鑑定業者が参加した。６回連続で当たる確率を計算すると約４万分の１となる。 奇跡ってど…

何度やっても忘れるのでブログに書いて覚えよう。 超幾何分布の確率質量関数 計算例 その1 男50人女50人から10人を選ぶ。10人のうち男3人女7人となる確率pは、超幾何分布を用いて その2 統計検定準一級2017年問10より引用。表の80人から30人を無作為抽出する…

はじめに 連の検定についてよく分からなかったのでRで実装して確かめてみました。 連とは？ ２値{A,B}を取る系列ABAABBAAABBBABがあった時、これをA | B | AA | BB | AAA | BBB | A | Bと連続する同じ値ごとに分割できるように見える。この時同じ文字または…

やること タイトルの通り式変形をするだけです。 式変形

やること 確率変数の確率密度関数をとする。 Xの平方変換に対して、Yの密度関数は？ という命題について、式変形の行間を埋めます。 以下途中式 に対してであるからと無事式変形できる。

やること 多変量解析法入門p.52の式(4.35)あたりの式変形の行間を埋めてみる。 式変形 式(4.35)にて ここで、上式の第一項は 第二項は より、バラバラにした項を足して元に戻せば、 となる。ということで、の係数をテコ比と呼ぶ。式(4.36)