準1級 例題/解説 の問2より。
ある地域における1日の死亡者数の集計結果表
1日の死亡者数Xがパラメータλのポアソン分布に従うと仮定する。ある日の死亡者数が3人である確率は?
に於いて、λ=3を代入すればよい。
同分布を仮定した時、E[X2] とλの関係は?
より、
パラメータλの推定値は?
より求める。ここで は 件数を件数総和の500 で割ったものとする。Rで計算すると、
# 人 x <- 0:6 # 件数 v <- c(55,144,140,95,45,15,6) # 割合 vprop <- v/sum(v) # 標本平均 lam_hat <- sum(x * vprop) print(lam_hat) #> print(lam_hat) #[1] 2
より、 となる。
パラメータの推定値から期待度数を求めよ
6以上に注意してRで計算すると、
# ポアソン分布(λ=2)からX = 0,1,2,3,4,5までの確率を求める。 dpois05 <- dpois(0:5, lambda = 2) # 6以上の確率 dpoisGE6 <- 1 - sum(dpois05) # 期待度数Expected_i = n * p_i。この問題ではnは500 round( 500 * c(dpois05, dpoisGE6), 1) #> round( 500 * c(dpois05, dpoisGE6), 1) #[1] 67.7 135.3 135.3 90.2 45.1 18.0 8.3
期待度数をもとに、適合度検定を実行せよ
で適合度検定を実行する。
より、カイ二乗値は
expected <- round( 500 * c(dpois05, dpoisGE6), 1) sum( (expected - v )^2/expected ) #[1] 4.498116
ところで自由度は, 7-1-1 より5なので自由度5のカイ二乗分布の上側5%点(⇔下側 95%点)を求めると、
qchisq(1-0.05, 5) #[1] 11.0705
となるので、4.498116 < 11.0705 より有意水準5%において棄却域に入っていない。よってポアソン分布に従っていることを棄却することはできない*1