Wを整列集合、a,b∈Wとするa < b ⇔ W(a) ⊂ W(b)すなわちi) a < b ⇒ W(a) ⊂ W(b)ii) W(a) ⊂ W(b) ⇒ a < bを示せ────────────i) x∈W(a) ⇒ x < a ⇒ x < b ⇒ x∈W(b)ii) W(a) ⊂ W(b)とする。整列集合より、a=b, b
補題1.Jが整列集合Wの部分集合でx∈J, y∈W, y < x ⇒ y∈Jを満たすとする。このときJ=WまたはJ=W(a)となるa∈Wが存在する。────────────J≠W としW\J≠∅とする整列性からW\Jは最小元を持つm = min W\Jとする明らかにm∈W\JであるさてJ=W(m)を示す [W(m) ⊆ J]x∈W(m)…
整列集合：(W,≦)を順序集合とする。Wの非空部分集合が最小元を持つとき、(W,≦)を整列集合という。つまり、整列集合(W,≦)が与えられたとき空でないWの部分集合は最小元を持つということ。 整列集合は全順序：Wの要素が1個なら非空部分集合S={a}は最小元aを持…
証明 ℚを有理数全体の集合 ℝを実数全体の集合 ℚ≠ℝ ℚ⊆ℝ ¬(ℝ⊆ℚ) ℚは可算無限 ℝは非可算無限 であることを既知とする。濃度の比較： ℚ⊆ℝから inc: ℚ→ℝの包含写像incが存在し incは単射である またℚは可算無限、ℝは非可算無限である よってcard ℚ ℝ\ℚが存在する…
──────────── A,Bを空でない集合とする。 単射f:A→B、単射g:B→Aが存在するとき、 AとBは対等である。 ──────────── 証明 [準備] B0 = B \ f(A) i≧1に対して Ai = g( B_{i-1} ) Bi = f(Ai) S = ⋃Ai T = ⋃B_{i-1} とおく。 A\S ⊔ S = A B\T ⊔ T = B である。 ─…
を非空な集合とする。を単射な写像とし、を添字集合とするの部分集合族をとする。[定理] [証明] まず、 を任意に取る。 集合族の共通部分の定義より、 各に対して、 像の定義より、 各に対して、あるが存在し、次に、 固定したに対して となるを一つ選ぶ。 …
ならば であった。 ではについてはなのか？これを確認する 下界集合の包含関係 とする。を確かめる。 を任意に一つ取ると 任意のについて である。 ところで より任意のAの要素は必ずBに属するので、 よってが言えてつまり。以上よりが示された。 下限の大小…
A, Bを非空とし、とする。 上界集合の比較 上界(upper limit) A,Bの上界集合をそれぞれ とする。を示せ。証明： を示せば良い。 まずを任意に取る。 は上界なので。 また、から。 従ってを得る。 以上より、すなわちが示された。 上限の比較 上限(sup) A, B…
コーシーシュワルツの不等式 と を実ベクトルとする。このときが成り立つ。 証明の前に ここで、 は実数の絶対値 は内積 はノルム より 、ノルムの非負性 とする。 証明 の時、 また よりコーシーシュワルツの不等式は成り立つ。 のときも のときも同様であ…
同時確率密度関数 とする。 確率変数の組 の同時確率密度関数が で与えられている。 このとき、次を確認もしくは計算せよ。 の 軸への射影 の 軸への射影 を固定した時の水平断面 を固定した時の垂直断面 同時密度を積分し になること の周辺分布、および平…
対数正規分布の密度・平均・分散・中央値 のとき が従う分布を対数正規分布と言う。 の密度・平均・分散・中央値を求めよ。 密度 1) 変数変換で用いる関数の確認 関数 は より諸々端折って全単射なので逆関数が存在し、、 である。 2) 累積分布 とし の累積…
切断した指数分布 問題 確率変数 は指数分布に従いその密度関数をとする。このとき、としてを求めよ。 解答 である。まず分母側は、である。次に分子側は、となるが、ところでよりである。従って、となる。
ローン(元利均等返済)：毎月返済額 A の計算公式の導出 元金 年利 月利 返済年数 返済回数 でローンを組む。 固定金利で元利均等返済とし毎月返済額を とする。 元金の将来価値に成り立つ式 元金の将来価値が各月返済額の将来価値の総額に等しくなるように各…
パラメータ を持つ失敗回数型の幾何分布に従う確率変数 を考える。事象 の確率は で与えられる。 問題 を求めよ。 解答 準備として、まず等比数列 において、 第 項以降の総和は であるから*1*2 である。また から、両辺 で微分することにより である。以上…
準備 (*) を で1回微分すると、(*) を で2回微分すると、 失敗回数型の幾何分布の期待値 成功確率 を持つ失敗回数型の幾何分布に従う確率変数を とする。確率質量関数はである（ここで とおく）。 期待値 分散 まず、したがって、
パラメータ のポアソン分布に従う確率変数 を考える。確率質量関数は である。このとき、切断した確率変数 の期待値は、
切断分布の期待値 確率変数 に対し、条件 の下での分布を「切断分布 (truncated distribution)」という。これは確率変数の値域を に制限した確率変数 とみなせる。ここで改めて、切断範囲 をボレル集合 () と置くと、その下での期待値は、となる。*1 *2 *3 *…
非負の連続型確率変数を とし、密度関数を とする。任意の非負の実数 について、が成り立つので、 は、ここで、, であるから積分領域は である。ところで、今の積分順序の場合 であるが順序を交換すると、 となる。したがって、
『データ解析のための数理統計入門』と同じ方針*1で、 を用いて導出する。 導出 お気持ち 4行目の二重総和 は外側の を固定して、 の和を計算する。つまり が先で、それに応じた が添字範囲となる。これに対して、 を先に決めてから の範囲を決めるのが5行目…
確率変数 は成功確率 の失敗回数型の幾何分布に従うとする。確率質量関数は で、幾何分布ってなんだっけ？ 確率 で成功、 で失敗するベルヌーイ試行を、「成功が出るまで」「独立に」繰り返す。確率変数 を「最初の成功が出るまでに生じる失敗の回数」と定め…
算術的に非負の整数を指示関数で表す 任意の非負の整数を とすると、となる。 算術的に非負の実数を指示関数で表す 任意の非負の実数を とすると、となる。 非負の確率変数を指示関数で表す 以下離散型で考える。 は非負の離散型確率変数とする。さて、 は …
非負の整数上で確率を持つ離散型確率変数 を考える。非負の整数 に対して累積分布関数を とする。 が存在するとき、次が成り立つことを示せ： 解答 非負の離散型確率変数 は指示関数の和としてと表せる。よって期待値の線形性より ちなみに が非負連続型確率…
チェビシェフの不等式 任意のについて、標準化した確率変数の絶対値が 以上となる確率は、 で抑えることができる。つまり、任意の確率変数 （平均 、標準偏差 ）に対して と置くと、 マルコフの不等式 非負の確率変数 および任意の について、 である。した…
括弧のエスケープが面倒なので、brackやbraceを使うと良い。 例：集合 コード A = \left\lbrace \frac{1}{x+1} \middle| 0 \lt x \lt 1 \right\rbrace レンダリング 例：期待値 コード E\left\lbrack \frac{1}{X+1} \middle| Y=y \right\rbrack レンダリング
ポアソン分布の定義 の期待値 上記の別解 より の期待値
多項分布 全部で 種類のカテゴリのいずれか1つが出現する試行を、独立に 回行うことを考える。 カテゴリ の出現確率を 確率の総和 とし、 カテゴリ の出現回数を確率変数 とする。但し が常に成り立つ。さてこのとき、確率ベクトル は多項分布に従い、と表す…
お気持ち： 同時分布を周辺化するときの不等式変形をなるべく明示的に具体的に手続き的に言語化して書き残そうと思った。なぜかというと統計学の教科書などではこのような不等式変形がどんな意図でなぜどのようにその最終形に至ったのか、ほぼ省略して書かれ…
領域 の考察 今回は、平面上の領域について、その断面と射影を考えてみる。 を固定した場合 を固定して考えると、条件 より が成り立つ。この断面が非空であるためには、固定した 自身が領域 に含まれる必要がある。したがって、 が有効な範囲となる。 を固…
問題 が与えられている。 Q1) が与えられる時、領域 の中で はどの範囲に属するか？ Q2) が与えられる時、領域 の中で はどの範囲に属するか？ Q3) 領域 を 軸に射影した時の の範囲、 軸に射影した時の の範囲を求めよ。 A1) 固定断面 領域の条件に代入して…
多項係数と多項定理 多項係数 次の記号で多項係数を表す。二項係数を拡張したと思えばOK。ちなみに二項係数は多項係数を用いてあらわすととなる。 多項定理 多項分布の定義 カテゴリ のいずれか一つが起こる試行を考える。この試行を独立に 回繰り返したとき…
