axjack's blog

axjack is said to be an abbreviation for An eXistent JApanese Cool Klutz.

久保川『現代数理統計学の基礎』p.25 命題2.21 (平方変換)

やること

確率変数X確率密度関数f_X(x)とする。 Xの平方変換Y=X^2に対して、Yの密度関数は?
という命題について、式変形の行間を埋めます。

以下途中式

y >0に対して\{x|x^2 \le y\} = \{x|-\sqrt{y} \le x \le \sqrt{y} \} であるから

\displaystyle f_Y (y) = \frac{d}{dy} P( X \in \{ x|x^2 \le y\} ) \\\\
\displaystyle = \frac{d}{dy} \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} f_X (x) dx  \\\\
\displaystyle = \frac{d}{dy} \Bigl(    F_X(\sqrt{y}) - F_X(-\sqrt{y})   \Bigr) \\\\
\displaystyle =  f_X(\sqrt{y})\frac{d}{dy}(\sqrt{y}) - f_X(-\sqrt{y})\frac{d}{dy}(-\sqrt{y})  \\\\
\displaystyle =  f_X(\sqrt{y})\frac{1}{2\sqrt{y}}   - f_X(-\sqrt{y})\frac{-1}{2\sqrt{y}}    \\\\
\displaystyle =  f_X(\sqrt{y})\frac{1}{2\sqrt{y}}   +  f_X(-\sqrt{y})\frac{1}{2\sqrt{y}}    \\\\
\displaystyle =  \Bigl( f_X(\sqrt{y})   +  f_X(-\sqrt{y}) \Bigr)\frac{1}{2\sqrt{y}}

と無事式変形できる。

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