久保川『現代数理統計学の基礎』p.25 命題2.21 (平方変換)

やること

確率変数 $X$ の確率密度関数を $f_X(x)$ とする。 Xの平方変換 $Y=X^2$ に対して、Yの密度関数は？
という命題について、式変形の行間を埋めます。

以下途中式

$y >0$ に対して $\{x|x^2 \le y\} = \{x|-\sqrt{y} \le x \le \sqrt{y} \}$ であるから

$\displaystyle f_Y (y) = \frac{d}{dy} P( X \in \{ x|x^2 \le y\} ) \\\\ \displaystyle = \frac{d}{dy} \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} f_X (x) dx \\\\ \displaystyle = \frac{d}{dy} \Bigl( F_X(\sqrt{y}) - F_X(-\sqrt{y}) \Bigr) \\\\ \displaystyle = f_X(\sqrt{y})\frac{d}{dy}(\sqrt{y}) - f_X(-\sqrt{y})\frac{d}{dy}(-\sqrt{y}) \\\\ \displaystyle = f_X(\sqrt{y})\frac{1}{2\sqrt{y}} - f_X(-\sqrt{y})\frac{-1}{2\sqrt{y}} \\\\ \displaystyle = f_X(\sqrt{y})\frac{1}{2\sqrt{y}} + f_X(-\sqrt{y})\frac{1}{2\sqrt{y}} \\\\ \displaystyle = \Bigl( f_X(\sqrt{y}) + f_X(-\sqrt{y}) \Bigr)\frac{1}{2\sqrt{y}}$