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２次元正規分布の確率密度関数

勉強統計

東京大学出版会『統計学入門』の p.145 図7.5 ２次元正規分布について、与えられたパラメータから楕円群(等高線の式)を導出する。

パラメータ

$\displaystyle \mu = \left[ \begin{array} {c} 55.24 \\ 34.97 \end{array} \right]$ , $\displaystyle \Sigma = \left[ \begin{array} {cc} 210.54 && 126.99\\126.99 && 119.68 \end{array} \right]$

二次元正規分布の確率密度関数

$\displaystyle f( \rm x) = \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^k \rm det(\Sigma) }} \rm exp \left( \frac{1}{2} ( \rm x - \rm \mu )'\Sigma^{-1} (\rm x - \rm \mu) \right)$

代入

$\det (\Sigma)と\Sigma^{-1}$ を計算すると、

$\det \Sigma = 9070.9671$

$\sqrt{(2\pi)^k \rm det(\Sigma) } = 238.6748277$

$\Sigma^{-1} = \left[ \begin{array} {cc} 0.013193742 && -0.013999609 \\-0.013999609 && 0.023210314 \end{array} \right]$

となるので、確率密度関数に代入するとexpの中身は $\rm x = \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ として

$\displaystyle - \frac{1}{2} \left( 0.013193742(x - 55.24)^2 + 2(-0.013999609)(x-55.24)(y-34.97) + 0.023210134(y-34.97)^2 \right)$

となる。ここでexpの中身を適当な定数c と置き、-200倍すると、

$\displaystyle 1.3193742(x - 55.24)^2 -2.7999218(x-55.24)(y-34.97) + 2.3210134(y-34.97)^2$

となり、p.145にある楕円群の式とほぼ等しくなる。

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