axjack's blog

axjack is said to be an abbreviation for An eXistent JApanese Cool Klutz.

2次元正規分布の確率密度関数

東京大学出版会『統計学入門』 の p.145 図7.5 2次元正規分布 について、与えられたパラメータから楕円群(等高線の式)を導出する。

パラメータ

\displaystyle \mu = \left[ \begin{array} {c} 55.24   \\  34.97  \end{array} \right] , \displaystyle \Sigma =  \left[ \begin{array} {cc} 210.54 &&  126.99\\126.99 && 119.68   \end{array} \right]

代入

 \det (\Sigma)と\Sigma^{-1}を計算すると、

 \det \Sigma = 9070.9671

 \sqrt{(2\pi)^k \rm det(\Sigma) } = 238.6748277

 \Sigma^{-1} = \left[ \begin{array} {cc} 0.013193742 &&  -0.013999609 \\-0.013999609 && 0.023210314   \end{array} \right]

となるので、確率密度関数に代入するとexpの中身は  \rm x = \left( \begin{array}{c} x \\ y  \end{array}   \right) として

 \displaystyle - \frac{1}{2} \left(  0.013193742(x - 55.24)^2 + 2(-0.013999609)(x-55.24)(y-34.97) + 0.023210134(y-34.97)^2 \right)


となる。ここでexpの中身を適当な定数c と置き、-200倍すると、

 \displaystyle  1.3193742(x - 55.24)^2  -2.7999218(x-55.24)(y-34.97) + 2.3210134(y-34.97)^2

となり、p.145にある楕円群の式とほぼ等しくなる。

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