確率変数の変数変換：一様分布に従う2 つの確率変数の和

理論編
例：一様分布に従う2 つの確率変数の和

理論編

確率変数 $X,Y$ の同時確率密度関数(joint pdf)を $f_{X,Y}(x,y)$ とする。この時、 $X,Y$ を

$\displaystyle \begin{bmatrix} Z \\ W \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u(X,Y)\\ v(X,Y) \end{bmatrix}$

と変数変換(change of variables)することを考える。ただし、 $u,v$ には逆変換が存在しそれを、

$\displaystyle \begin{bmatrix} X \\ Y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s(Z,W)\\ t(Z,W) \end{bmatrix}$

と表す。ここでヤコビアン $J(X,Y)$ を

$\displaystyle J(X,Y) = \det \left( \begin{bmatrix} \frac{\partial Z}{ \partial X} & \frac{\partial Z}{ \partial Y} \\ \frac{\partial W}{ \partial X} & \frac{\partial W}{\partial Y} \end{bmatrix} \right)$

とすると、変数変換後の同時確率密度関数 $f_{Z,W}(z,w)$ は、

$\displaystyle f_{Z,W}(z,w) = f_{X,Y} ( x, y ) / | J(X,Y) | \\ = f_{X,Y}( s(z,w), t(z,w) ) / | J(X,Y)|$

で表される(ここで $|\cdot|$ は絶対値を表す)。

また、確率変数 $X,Y$ が独立でそれぞれの確率密度関数が $f_X(x), f_Y(y)$ で与えられていれば、

$\displaystyle f_{Z,W}(z,w) = f_{X,Y} ( x, y ) / | J(X,Y) | \\ = f_{X,Y}( s(z,w), t(z,w) ) / | J(X,Y)| \\ = f_X(s(z,w)) f_Y( t(z,w) )/ | J(X,Y) |$

となる。

さらに、同時確率密度関数 $f_{Z,W}(z,w)$ を $w$ で積分消去(integrate out, marginal, collapse)することで確率変数 $Z$ の周辺確率密度関数(marginal pdf)を求めることができる。すなわち、

$\displaystyle f_Z(z) = ∫_{-\infty}^{\infty} f_{Z,W}(z,w) dw = ∫_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{ |J(X,Y)| }f_{X,Y}( s(z,w), t(z,w) )dw$

となる。

例：一様分布に従う2 つの確率変数の和

確率変数 $X,Y$ はそれぞれ独立に一様分布 $\text{Unif}(0,1)$ に従うとする。確率密度関数 $f_X(x), f_Y(y)$ は

$\displaystyle f(t) = \begin{cases} 1 \quad \text{if} \quad 0 \lt t \lt 1 \\ 0 \quad \text{otherwise} \end{cases}$

を用いて、 $f_X(x) = f(x)$ および $f_Y(y) = f(y)$ で与えられる。

確率変数の変換

確率変数 $Z,W$ を $Z = X+Y, W = Y$ と変換する。このとき $X = Z - W, Y = W$ である。

またヤコビアン $J(X,Y)$ は、
$J(X,Y) = det \begin{pmatrix} \frac{∂Z}{∂X} & \frac{∂Z}{∂Y} \\ \frac{∂W}{∂X} & \frac{∂W}{∂Y} \end{pmatrix} = det \begin{pmatrix} \frac{∂(X+Y)}{∂X} & \frac{∂(X+Y)}{∂Y} \\ \frac{∂Y}{∂X} & \frac{∂Y}{∂Y} \end{pmatrix} \\ = det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = det (1) = 1$ である。