axjack's blog

### axjack is said to be an abbreviation for An eXistent JApanese Cool Klutz ###

列空間と左零空間は直交する

線形代数

準備

  • 行列Aを
    • A \in \mathbb{R}^{m \times n}
  • Aの列空間を
    • C(A) = \{ Ax \mid x \in \mathbb{R}^{n} \} \subset \mathbb{R}^m
  • Aの左零空間を
    • N(A') = \{ x \mid A'x = \vec{0} \} \subset \mathbb{R}^m

とする。この時、C(A)の任意のベクトルとN(A')の任意のベクトルは直交する。

確認

x ∈ C(A), y ∈ N(A')を任意に取る。ベクトルが直交することを示すには内積が0となることを確認すれば良い。なお、小文字のoを零ベクトルとする。

すると、

  • x'y = (Aw)'y = w'A'y = w'(A'y) = w'o = 0
  • y'x = y'(Aw) = (y'A)w = (A'y)'w = o'w = 0

となってy'x = x'y = 0が示せた。

したがって、C(A)の任意のベクトルとN(A')の任意のベクトルは直交する。
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axjack is said to be an abbreviation for An eXistent JApanese Cool Klutz.