コンプガチャ問題

おまけを10種類揃えるには？

おまけが全部で25種類の、とあるお菓子がある
一個税込143円である
25種類中欲しいのは10種類
1種類目が当たる確率は $10/25$
2種類目が当たる確率は $9/25$
…
10種類目が当たる確率は $1/25$
一般に、確率 $p$ のものを引き当てるために必要となる購入回数の期待値は $1/p$ である(幾何分布)
よって10種類コンプリートするためには平均で

$\displaystyle (10/25)^{-1} + (9/25)^{-1} + \cdots + (1/25)^{-1}$

回購入すれば良い。これを計算すると、

f <- function(x,N){
p <- (1:x)/N
sum(1/p)
}
f(10,25)
[1] 73.22421

約73回購入することとなる。金額に換算すると143×73 = 10,471円となる。
1万円札と500円玉を握りしめて大人買いすれば10種類コンプリートできるかもしれない。

幾何分布の復習

確率変数 $Y$ が幾何分布 $Geo(p)$ に従うとする。
ここで $p$ は成功確率、 $q = 1-p$ とする。
確率質量関数は $P(Y=y) = pq^y$
つまり $y$ 回連続で外れを引いて $y+1$ 回目で初成功するような確率である
確率母関数は $G(s)=E(s^Y)=\sum s^y p q^y = p \sum (qs)^y = p (1-qs)^{-1}$ である
確率母関数を使うと、期待値が $q/p$ となる
この期待値は「 $y$ 回外れを引いて $y+1$ 回目で初成功する」ときの $Y$ に関する期待値である
つまり、初成功する回"目"の期待値は $q/p$ に $1$ を足して $q/p + 1 = 1/p$ となる。

おまけを25種類コンプリートするには？

では、1種類コンプリート・2種類コンプリート・…・25種類コンプリートにかかる平均購入回数は？計算すると

data.frame(
種類=paste(1:25,'種類')
,平均購入回数 = vapply(1:25, f, 0, N=25)
) |> kable()

種類	平均購入回数
1 種類	25.00000
2 種類	37.50000
3 種類	45.83333
4 種類	52.08333
5 種類	57.08333
6 種類	61.25000
7 種類	64.82143
8 種類	67.94643
9 種類	70.72421
10 種類	73.22421
11 種類	75.49693
12 種類	77.58027
13 種類	79.50334
14 種類	81.28906
15 種類	82.95572
16 種類	84.51822
17 種類	85.98881
18 種類	87.37770
19 種類	88.69349
20 種類	89.94349
21 種類	91.13397
22 種類	92.27033
23 種類	93.35729
24 種類	94.39895
25 種類	95.39895

となる。

さて本当に幾何分布であっているのか？ということで、幾何分布に従う乱数を生成して確認する。

f2 <- function(nn,p){
mean( rgeom(nn,p)+1 )
}
nn <- 1000
data.frame(
種類=paste(1:25,'種類')
,幾何分布の乱数で計算した平均購入回数 =mapply(f2,nn,(1:25)/25) |> cumsum()
) |> kable()

種類	幾何分布の乱数で計算した平均購入回数
1 種類	25.2860
2 種類	37.6042
3 種類	46.1189
4 種類	52.3534
5 種類	57.3745
6 種類	61.5205
7 種類	65.1356
8 種類	68.2428
9 種類	70.9967
10 種類	73.4832
11 種類	75.7831
12 種類	77.8665
13 種類	79.7682
14 種類	81.5705
15 種類	83.2414
16 種類	84.7918
17 種類	86.2650
18 種類	87.6587
19 種類	88.9822
20 種類	90.2273
21 種類	91.4115
22 種類	92.5498
23 種類	93.6351
24 種類	94.6796
25 種類	95.6796

となる。だいたいあっている。

参考文献:
www.bandai.co.jp

axjack's blog

### axjack is said to be an abbreviation for An eXistent JApanese Cool Klutz ###

コンプガチャ問題

おまけを10種類揃えるには？

幾何分布の復習

おまけを25種類コンプリートするには？