axjack's blog

axjack is said to be an abbreviation for An eXistent JApanese Cool Klutz.

多変量解析法入門pp.52-53のテコ比の式変形

やること

多変量解析法入門p.52の式(4.35)あたりの式変形の行間を埋めてみる。

式変形

式(4.35)にて
\begin{eqnarray}
\hat{y_k} &=& \hat{\beta_0} + \hat{\beta_1}x_k \\
&=& \bar{y} + \hat{\beta_1}(x_k - \bar{x} ) \\
&=& \frac{\Sigma y_i}{n} + \frac{ (x_k - \bar{x}) \Sigma(x_i-\bar{x})y_i  }{ S_{xx}  }
\end{eqnarray}


ここで、上式の第一項は


\displaystyle \frac{\Sigma y_i}{n}  = \frac{1}{n}y_1 + \frac{1}{n}y_2 + \cdots + \frac{1}{n}y_k + \cdots + \frac{1}{n}y_n \\
\displaystyle = \begin{bmatrix} y_1 & y_2 & \cdots & y_k & \cdots & y_n \end{bmatrix}  \begin{bmatrix} \frac{1}{n} & \frac{1}{n} & \cdots & \frac{1}{n} \end{bmatrix}'


第二項は


\displaystyle \frac{ (x_k - \bar{x}) \Sigma(x_i-\bar{x})y_i  }{ S_{xx}  } =  \Bigl( \frac{(x_k - \bar{x} )}{S_{xx}} \Bigr)   \Bigl( (x_1-\bar{x})y_1 + (x_2-\bar{x})y_2  + \cdots  + (x_n-\bar{x})y_n   \Bigr) \\
\displaystyle = \begin{bmatrix} y_1 & y_2 & \cdots & y_k & \cdots & y_n \end{bmatrix} 
\begin{bmatrix}  \Bigl( \frac{(x_k-\bar{x})(x_1 - \bar{x})}{S_{xx}}  \Bigr)   & \Bigl( \frac{(x_k-\bar{x})(x_2 - \bar{x})}{S_{xx}}  \Bigr) & \cdots & \Bigl( \frac{(x_k-\bar{x})(x_k - \bar{x})}{S_{xx}}  \Bigr) & \cdots & \Bigl( \frac{(x_k-\bar{x})(x_n - \bar{x})}{S_{xx}}  \Bigr) \end{bmatrix}'


より、バラバラにした項を足して元に戻せば、


\displaystyle \hat{y_k} =  \begin{bmatrix} y_1 & \cdots & y_k & \cdots & y_n \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}  \Bigl( \frac{1}{n} +  \frac{(x_k-\bar{x})(x_1 - \bar{x})}{S_{xx}}  \Bigr)  
& \cdots  &
\Bigl( \frac{1}{n} +  \frac{(x_k-\bar{x})(x_k - \bar{x})}{S_{xx}}  \Bigr)
& \cdots  &
\Bigl( \frac{1}{n} +  \frac{(x_k-\bar{x})(x_n - \bar{x})}{S_{xx}}  \Bigr)
\end{bmatrix}' \\
\displaystyle \iff \hat{y_k} = \begin{bmatrix} y_1 & \cdots & y_k &\cdots& y_n\end{bmatrix} \begin{bmatrix} h_{k1} & \cdots & h_{kk} & \cdots & h_{kn} \end{bmatrix}'


となる。

ということで、y_kの係数


\displaystyle h_{kk} = \frac{1}{n} + \frac{ (x_k - \bar{x})^2 }{ S_{xx} }

をテコ比と呼ぶ。式(4.36)