多変量解析法入門pp.52-53のテコ比の式変形

やること

多変量解析法入門p.52の式(4.35)あたりの式変形の行間を埋めてみる。

式変形

式(4.35)にて
$\begin{eqnarray} \hat{y_k} &=& \hat{\beta_0} + \hat{\beta_1}x_k \\ &=& \bar{y} + \hat{\beta_1}(x_k - \bar{x} ) \\ &=& \frac{\Sigma y_i}{n} + \frac{ (x_k - \bar{x}) \Sigma(x_i-\bar{x})y_i }{ S_{xx} } \end{eqnarray}$

ここで、上式の第一項は

$\displaystyle \frac{\Sigma y_i}{n} = \frac{1}{n}y_1 + \frac{1}{n}y_2 + \cdots + \frac{1}{n}y_k + \cdots + \frac{1}{n}y_n \\ \displaystyle = \begin{bmatrix} y_1 & y_2 & \cdots & y_k & \cdots & y_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{n} & \frac{1}{n} & \cdots & \frac{1}{n} \end{bmatrix}'$

第二項は

$\displaystyle \frac{ (x_k - \bar{x}) \Sigma(x_i-\bar{x})y_i }{ S_{xx} } = \Bigl( \frac{(x_k - \bar{x} )}{S_{xx}} \Bigr) \Bigl( (x_1-\bar{x})y_1 + (x_2-\bar{x})y_2 + \cdots + (x_n-\bar{x})y_n \Bigr) \\ \displaystyle = \begin{bmatrix} y_1 & y_2 & \cdots & y_k & \cdots & y_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \Bigl( \frac{(x_k-\bar{x})(x_1 - \bar{x})}{S_{xx}} \Bigr) & \Bigl( \frac{(x_k-\bar{x})(x_2 - \bar{x})}{S_{xx}} \Bigr) & \cdots & \Bigl( \frac{(x_k-\bar{x})(x_k - \bar{x})}{S_{xx}} \Bigr) & \cdots & \Bigl( \frac{(x_k-\bar{x})(x_n - \bar{x})}{S_{xx}} \Bigr) \end{bmatrix}'$

より、バラバラにした項を足して元に戻せば、

$\displaystyle \hat{y_k} = \begin{bmatrix} y_1 & \cdots & y_k & \cdots & y_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \Bigl( \frac{1}{n} + \frac{(x_k-\bar{x})(x_1 - \bar{x})}{S_{xx}} \Bigr) & \cdots & \Bigl( \frac{1}{n} + \frac{(x_k-\bar{x})(x_k - \bar{x})}{S_{xx}} \Bigr) & \cdots & \Bigl( \frac{1}{n} + \frac{(x_k-\bar{x})(x_n - \bar{x})}{S_{xx}} \Bigr) \end{bmatrix}' \\ \displaystyle \iff \hat{y_k} = \begin{bmatrix} y_1 & \cdots & y_k &\cdots& y_n\end{bmatrix} \begin{bmatrix} h_{k1} & \cdots & h_{kk} & \cdots & h_{kn} \end{bmatrix}'$