ガンマ関数とガンマ分布についてのポエム

統計学実践ワークブック第15章にて、"指数分布(λ)はガンマ分布(1, 1/λ)である"、というワンフレーズでつまずいたので、
復習を兼ねてポエムです。なお、以下の議論において、厳密性は度外視している。

ガンマ関数
ガンマ分布
指数分布(λ)はガンマ分布(1, 1/λ)である

ガンマ関数

定義

s > 0 とする。ガンマ関数Γ(s) は次式で定義される。

$\displaystyle \Gamma(s) = \int_0^{\infty} t^{s-1} e^{-t} dt$

性質1: Γ(1) = 1

Γ(1) = 1である。
$\displaystyle \because \Gamma(1) = \int_0^{\infty} t^{0} e^{-t} dt = \int_0^{\infty} e^{-t}dt = \Big [ -e^{-t} \Big ]_0^{\infty} = 1$

性質2: Γ(s) = (s-1)Γ(s-1)

Γ(s) = (s-1)Γ(s-1)である。
$\displaystyle \because \Gamma(s) = \int_0^{\infty} t^{s-1} e^{-t} dt = \int_0^{\infty} t^{s-1} \Big(-e^{-t}\Big)' dt$
$\displaystyle = \Big[ (t^{s-1} )'(-e^{-t}) \Big]_0^{\infty} - \int_0^{\infty} (t^{s-1} )'(-e^{-t}) dt$
$\displaystyle = \int_0^{\infty} (s-1)t^{(s-1)-1}e^{-t} dt$
$\displaystyle = (s-1) \int_0^{\infty} t^{(s-1)-1}e^{-t} dt$
$\displaystyle = (s-1) \Gamma(s-1)$

性質3: Γ(n) = (n-1)! where n ∈ ℕ

$n>0; n \in N$ のとき、Γ(n) = (n-1)!である。
∵ 性質1と2より、ガンマ関数は

${\displaystyle \Gamma(n) = \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 1 \ \rm{if} \ n = 1 \\ \rm{otherwise} \ (n-1) \Gamma(n-1) \end{array} \right. \end{eqnarray} }$

と再帰的に記述できる。これは(n-1)!の階乗の再帰的な表現に等しい。

性質4: Γ(1/2) = √π

$\Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi}$ である。

まず、
$\displaystyle I = \Gamma(\frac{1}{2}) = \int_0^{\infty} t^{-\frac{1}{2}} e^{-t} dt = \int_0^{\infty} \frac{ 1 }{ \sqrt{t} } e^{-t} dt$ にて
$\displaystyle t = x^2$ と変数変換すると $\displaystyle \frac{dt}{dx} = 2x$ なので、
$\displaystyle \int_0^{\infty} \frac{ 1 }{ \sqrt{t} } e^{-t} dt = \int_0^{\infty} \frac{ 1 }{ x } e^{-x^2} 2xdx = 2 \int_0^{\infty} e^{-x^2} dx$
となって、区間(0,∞)のガウス積分 $\int_0^{\infty} e^{-x^2} dx$ が現れる。

ガウス積分を計算すると、
$\displaystyle J = \int_0^{\infty} e^{-x^2} dx$ にて、
$\displaystyle J^2 = \Big( \int_0^{\infty} e^{-x^2} dx \Big) \Big( \int_0^{\infty} e^{-y^2} dy \Big)$
$\displaystyle = \int_0^{\infty} \int_0^{\infty} e^{-(x^2+y^2) } dxdy$

ここで、 $x = rcos(\theta), y = rsin(\theta)$ また諸々のヤコビアンの計算により、 $dxdy = rdrd\theta$ とすると、
$\displaystyle J^2 = \int_0^{\infty} \int_0^{ \frac{\pi}{2} } e^{-r^2 } rdrd\theta = \frac{\pi}{2} \int_0^{\infty} \Big( -\frac{1}{2} e^{-r^2 } \Big)' dr$
$\displaystyle = \frac{\pi}{2} \frac{1}{2} \Big[ e^{-r^2 } \Big]_{\infty}^{0} = \frac{\pi}{4}$

よって、区間(0,∞)のガウス積分は $\displaystyle J = \sqrt{ \frac{\pi}{4} }$ なので、
$\displaystyle \Gamma(\frac{1}{2}) = 2J = 2 \sqrt{ \frac{\pi}{4} } = \sqrt{\pi}$

ガンマ分布

定義

a>0, b>0, x ∈(0,∞) として、確率密度関数f(x)が
$\displaystyle \frac{1}{\Gamma(a) b^a } x^{a-1} exp( {-\frac{x}{b} } )$
と表される連続型確率分布を、ガンマ分布G(a, b) という。

確率分布であること

連続型確率分布が(0,∞)で積分すると1になることを示せば良い。
ここで、 $\displaystyle \frac{x}{b} = t$ とすると $\displaystyle \frac{dx}{dt} = bt$ より、

$\displaystyle \int_0^{\infty} \frac{1}{\Gamma(a) b^a } x^{a-1} exp( {-\frac{x}{b} } ) dx$
$\displaystyle = \int_0^{\infty} \frac{1}{\Gamma(a) b^a } (bt)^{a-1} exp( -t ) bdt$
$\displaystyle = \int_0^{\infty} \frac{1}{\Gamma(a) b^a } b^{a-1} b t^{a-1} exp( -t ) dt$
$\displaystyle = \int_0^{\infty} \frac{1}{\Gamma(a) b^a } b^a t^{a-1} exp( -t ) dt$
$\displaystyle = \frac{1}{\Gamma(a) } \int_0^{\infty} t^{a-1} exp( -t ) dt$
$\displaystyle = \frac{1}{\Gamma(a) } \Gamma(a) = 1$

モーメント母関数

X ~ G(a,b) としてモーメント母関数 $M_X(t)$ を求める。

$\displaystyle M_X(t) = E\Big[ \rm{e}^{tX} \Big] = \int_0^{\infty} \rm{e}^{tx} \frac{1}{\Gamma(a) b^a } x^{a-1} exp( {-\frac{x}{b} } ) dx$
$\displaystyle = \int_0^{\infty} \frac{1}{\Gamma(a) b^a } x^{a-1} exp( {-x ( \frac{1}{b} -t ) } ) dx$

ここで $\displaystyle x ( \frac{1}{b} -t ) = y$ とすると、

$\displaystyle = \int_0^{\infty} \frac{1}{\Gamma(a) b^a } ( \frac{1}{ \frac{1}{b} - t } )^{a-1} y^{a-1} exp( -y ) \frac{1}{ \frac{1}{b} - t } dy$
$\displaystyle = \int_0^{\infty} \frac{1}{\Gamma(a) b^a } ( \frac{1}{ \frac{1}{b} - t } )^a y^{a-1} exp( -y ) dy$
$\displaystyle = ( \frac{1}{1 - bt } )^a \frac{1}{\Gamma(a) } \int_0^{\infty} y^{a-1} exp( -y ) dy$
$\displaystyle = ( \frac{1}{1 - bt } )^a \frac{1}{\Gamma(a) } \Gamma(a)$
$\displaystyle = ( 1 - bt )^{-a}$
となる。

再生性

X ~ G(a1, b) , Y ~ G(a2, b) でXとYは互いに独立であるとする、この時 X+Yの分布はモーメント母関数を用いて
$M_{X+Y}( t ) = M_X(t) M_Y(t) = (1 - bt )^{-a_1} (1 - bt )^{-a_2} = (1-bt)^{-(a_1+a_2)}$
と表される。これは X+Y ~ G(a1+a2, b) に等しい。よってガンマ分布は再生性を持つ。

指数分布(λ)はガンマ分布(1, 1/λ)である

指数分布は確率密度関数が $f(x) = \lambda \rm{exp}(-\lambda x)$ と表される。従って、ガンマ分布 G(a,b)にて
$G(a = 1, b = \frac{1}{\lambda} )$ として求めると、
$\displaystyle G(a = 1, b = \frac{1}{\lambda}) \rightarrow \frac{1}{\Gamma(1) (1/\lambda)^1 } x^{1-1} exp( {-\frac{x}{1/\lambda} } )$
$\displaystyle = \lambda exp( {-\lambda x } )$
となり、確かに一致する。