標本平均からの偏差二乗和をσ²で割ったものが自由度n-1のカイ二乗分布に従う例のアレの導出

厳密ではないが、カイ二乗分布の再生性やコクランの定理から言えるのではないでしょうかね(無責任)。

導出

Xᵢ ~ N(μ,σ²)に従うiid確率変数とする。
このとき、Zᵢ = (Xᵢ-μ)/σと変換すると、
Z²=ΣZᵢ² over 1 to nはχ²(n) に従う。


ここで、
Σ(Xᵢ-μ)²
= Σ{(Xᵢ-X̅)+(X̅-μ)}²
= Σ{(Xᵢ-X̅)²+2(Xᵢ-X̅)(X̅-μ)+(X̅-μ)²}
= Σ(Xᵢ-X̅)²+2(X̅-μ)Σ(Xᵢ-X̅)+Σ(X̅-μ)²
= Σ(Xᵢ-X̅)²+Σ(X̅-μ)²
= Σ(Xᵢ-X̅)²+n(X̅-μ)²

と変形できることから、

Z²
= Σ{(Xᵢ-μ)/σ}²
= (1/σ²){Σ(Xᵢ-X̅)²+n(X̅-μ)²}
= Σ{(Xᵢ-X̅)/σ}²+{(X̅-μ)/(σ/√n)}²
と表せる。


ところで、X̅~N(μ,σ²/n)であるから
{(X̅-μ)/(σ/√n)}²~χ²(1)である。

よって
Z²~χ²(n)と{(X̅-μ)/(σ/√n)}²~χ²(1)とカイ二乗分布の性質から、
Σ{(Xᵢ-X̅)/σ}²〜χ²(n-1)に従う。