忘れては思い出したいポアソン分布

スマホで文字打ち込んでいるのでLaTeXに出来ませんがまぁご愛嬌。

ポアソン分布の確率関数

Pr(X=k) = exp(-θ)θ^k/k!
ただしk は0以上の整数

ポアソン分布の期待値

E[X] = θ

ポアソン分布の期待値の導出

overはΣの添字が走る範囲です。またexp(θ)=Σθ^h/h! over h≧0を用います。

E[X]
= Σkexp(-θ)θ^k/k! over k≧0
= Σkexp(-θ)θ^k/k! over k≧1
= exp(-θ)Σθ^k/(k-1)! over k≧1
= θexp(-θ)Σθ^(k-1)/(k-1)! over k-1≧0
= θexp(-θ)Σθ^h/h! over h≧0
= θexp(-θ)exp(θ)
= θ