指数分布の和の分布

統計学実践ワークブック問4.2より。指数分布の和の分布を求めた時の教訓・感想です。

オチ・教訓・流れ

指数分布は再生性を持っていない
- 指数分布のモーメント母関数を求めて掛け算しても、元の分布がよく分からない形に。。
- なので畳み込み積分で和の分布を求める必要がある
ところで、モーメント母関数から導いた和の分布のモーメント母関数と、畳み込み積分で求めた和の分布のモーメント母関数は一致するのだろうか？
- 計算して確かめよう

やること

1) 畳み込み積分にて和の分布を求める
2) モーメント母関数を使って和の分布のモーメント母関数を求める
- 再生性がないことを確かめる。
3) 1)で求めた和の分布のモーメント母関数を求め、これが2)と一致することを確認する

問題4.2の概要

XとYはそれぞれ独立にパラメータλの指数分布に従う
Xの確率密度関数は、 $f(x) = \lambda \exp(-\lambda x )$
Yの確率密度関数は、 $f(y) = \lambda \exp(-\lambda y )$
確率変数の和：X+Y の分布を求めよ

1)畳み込み積分にて和の分布を求める

$Z=X+Y$ ; 畳み込み積分の公式？より、Zの確率密度関数: h(z) は、
$h(z) = \int_{0}^{z}f(t)f(z-t)dt = \int_{0}^{z}\lambda\exp(- \lambda t) \lambda\exp(- \lambda (z-t) )dt$
$= \lambda^2 \int_{0}^{z} \exp(-\lambda t ) \exp( - \lambda (z-t) )dt = \lambda^2 \int_{0}^{z} \exp(- \lambda z )dt = \lambda^2 \exp(-\lambda z) \int_{0}^{z} 1dt$
$\Large = \rm \lambda^2 z e^{-\lambda z}$

2) モーメント母関数を使って和のモーメント母関数を求める

Xのモーメント母関数 $M_{X}(t)$ を求め、XとYは独立であることから $M_{X+Y}(t) = M_{X}M_{Y}$ を計算することにより和の分布のモーメント母関数を求める。
なお積分範囲(0,∞)は記載省略。

Xのモーメント母関数は、
$M_{X}(t) = E[exp(tX)] = \int \lambda exp(- \lambda x ) exp(tx)dx = \lambda \int exp(-(t-\lambda )x) dx$ より、
$\large = \lambda [ exp(-(t-\lambda)x) \times \frac{1}{-(t-\lambda)} ]_{0}^{\infty} = \lambda ( \frac{1}{\lambda - t } ) = \frac{\lambda}{\lambda - t }$

従って、X+Yのモーメント母関数は $M_{X+Y}(t) = M_{X}M_{Y} = {M_{X}}^2$
$\Large = ( \frac{\lambda}{\lambda - t } )^2$

ところで、もし再生性があるのであれば和の分布のモーメント母関数は $\Large \frac{2\lambda}{2\lambda - t }$ となるはずだが、明らかに
$\Large ( \frac{\lambda}{\lambda - t } )^2 \neq \frac{2\lambda}{2\lambda - t }$ である。指数分布は再生性を持たないことが確認できた。

3) 1)で求めた和の分布のモーメント母関数を求め、これが2)と一致することを確認する

1)で求めた、Zの確率密度関数 $f(z) = \Large \rm \lambda^2 z e^{-\lambda z}$ のモーメント母関数を求める。
なお積分範囲(0,∞)は記載省略。

Zのモーメント母関数は、
$\rm M_{Z}(t) = E[ exp(tZ) ] = \int exp(tz) \lambda^2 exp(-\lambda z)z dz = \lambda^2 \int exp(-(\lambda - t) z )z dz$
$\rm = \lambda^2 \int (\frac{1}{-(\lambda - t) } exp(-(\lambda - t )z) )' z dz$
$\rm = \lambda^2 \Bigl( \Bigl[ \frac{1}{-(\lambda - t )}e^{-(\lambda - t)z} z \Bigr]_{0}^{\infty} - \int (\frac{1}{-(\lambda - t) } exp(-(\lambda - t )z)dz \Bigr)$
$\rm = \frac{\lambda^2}{\lambda - t } \Bigl( \int (\frac{1}{-(\lambda - t) } exp(-(\lambda - t )z)dz \Bigl)$
$\rm = \frac{\lambda^2}{\lambda - t } \Bigl( \Bigl[ \frac{1}{-(\lambda - t )}e^{-(\lambda - t)z} \Bigr]_{0}^{\infty}$
$\rm = \frac{\lambda^2}{ - (\lambda - t)^2 } ( 0 - 1 )$
$\rm \Large = (\frac{\lambda}{ \lambda - t } ) ^2$