超幾何分布 - axjack's blog

何度やっても忘れるのでブログに書いて覚えよう。

$\displaystyle P(X=x) = f(x; N,M,n) = \frac{ \binom{M}{x} \binom{N-M}{n-x} } { \binom{N}{n} }$

男50人女50人から10人を選ぶ。10人のうち男3人女7人となる確率pは、超幾何分布を用いて

$\displaystyle p = \frac{ \binom{50}{3} \binom{50}{7} }{ \binom{100}{10}}$

統計検定準一級2017年問10より引用。表の80人から30人を無作為抽出する。その30人のうち男性かつ就職している人数Xは超幾何分布に従う。

と整理して、
$\displaystyle P(X=x) = \frac{ \binom{38}{x} \binom{42}{30-x} }{ \binom{80}{30} }$

となる。

同じ表を用いて、80人から20人を無作為抽出する。その20人のうち「女性かつ非就職」な人数Xは超幾何分布に従う。

と整理して、
$\displaystyle P(X=x) = \frac{ \binom{9}{x} \binom{71}{20-x} }{ \binom{80}{20} }$

となる。

choose関数で立てた式が超幾何分布の質量関数dhyperと同じことを確認。

# その1
> choose(50,3)*choose(50,7)/choose(100,10)
[1] 0.1130964
> dhyper(3,50,50,10)
[1] 0.1130964

dhpyer(x,m,n,k)の引数*1は、

x: vector of quantiles representing the number of white balls drawn without replacement from an urn which contains both black and white balls.
m: the number of white balls in the urn.
n: the number of black balls in the urn.
k:the number of balls drawn from the urn.