統計学実践ワークブック第29章：不完全データの統計処理〜切断正規分布の期待値と分散〜

統計学実践ワークブックのp.281あたりです。

補助公式

以下が成り立つため、

$\displaystyle t\exp(-t^2/2) = \left(-\exp(-t^2/2)\right)'$

標準正規分布の確率密度関数 $\varphi(t)$ を用いても以下が成り立つ

$\displaystyle t\varphi(t)= t\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-t^2/2) \\ \displaystyle = (-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-t^2/2))'\\ \displaystyle = (-\varphi(t))'$

問題

確率変数 $Z$ の確率密度関数が

$\displaystyle f(z) = \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{\Phi(a)} \varphi(z) \quad (z \lt a) \\ \displaystyle 0 \quad \text{otherwise } \displaystyle \end{cases}$

と与えられる時の期待値・分散を求めよう。

期待値

$\displaystyle E[ Z | Z \lt a]$ は、

$\displaystyle E[Z|Z \lt a] = \\ \displaystyle \int_{-\infty}^{a} \frac{1}{\Phi(a)} t \varphi(t)dt\\ \displaystyle = \int_{-\infty}^{a} \frac{1}{\Phi(a)}(-\varphi(t))'dt\\ \displaystyle = \left[-\frac{\varphi(t)}{\Phi(a)}\right]_{\infty}^{a} \\ \displaystyle = \frac{\varphi(\infty)-\varphi(a)}{\Phi(a)} \\ \displaystyle = -\frac{\varphi(a)}{\Phi(a)}$

となる。

分散

$\displaystyle V[ Z|Z \lt a ] = E[ Z^2|Z \lt a ] - \left(E[ Z|Z \lt a ]\right)^2$

より、 $E[ Z^2|Z \lt a]$ を計算すると、

$\displaystyle E[Z^2|Z \lt a] = ∫_{-\infty}^{a} \frac{1}{\Phi(a)} z^2 \varphi(z)dz\\ \displaystyle = ∫_{-\infty}^{a} \frac{1}{\Phi(a)} z \cdot \left(z\varphi(z)\right)dz\\ \displaystyle = ∫_{-\infty}^{a} \frac{1}{\Phi(a)} z \cdot \left(-\varphi(z)\right)' dz\\ \displaystyle = \Bigl[ -z\varphi(z) \Bigr]_{-\infty}^{a}/\Phi(a) + ∫_{-\infty}^{a} \varphi(z) /\Phi(a)dz \\ \displaystyle = -\frac{a\varphi(a)}{\Phi(a)} + 1$

となることから、

$\displaystyle V[ Z|Z \lt a ] = -\frac{a\varphi(a)}{\Phi(a)} + 1 - \left( \frac{\varphi(a)}{\Phi(a)} \right)^2$

となる。

ここで

$\displaystyle \lim_{z\to -\infty} z\varphi(z) = \lim_{z\to -\infty} z \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\exp(-z^2/2)\\ \displaystyle \propto \lim_{z\to -\infty} \frac{z}{\exp(z^2/2)}\\ \displaystyle = \lim_{z\to -\infty} \frac{(z)'}{(\exp(z^2/2))'} \\ \displaystyle = \lim_{z\to -\infty} \frac{1}{z\exp(z^2/2)} = \frac{1}{-\infty \times \infty} = \frac{1}{-\infty} = 0$