結論

確率変数 $X = {X_1, X_2}$ においてそれぞれ確率 $p,1-p$ をとる時、標準偏差SD(X)は

$\displaystyle SD(X) = |X_1 - X_2| \sqrt{ p(1-p) }$

となる。ここで||は絶対値の記号である。

どこで見つけたか

edXのprobabilityの教科書？であるChapter 14 Random variables | Introduction to Data Science やここである。

f:id:axjack:20200803234358p:plain *1 f:id:axjack:20200803234436p:plain *2

計算例

離散型確率分布が以下の表、

X	p
17	0.3
-1	0.7

で与えられているとする。

まずは期待値・分散・標準偏差を計算し、最後に公式を用いて標準偏差を計算して２つの標準偏差が一致することを確かめる。

期待値

$\mu = E(X) = \sum(X = X_i)p_i = 17\times0.3 + (-1)\times0.7 = 4.4$

分散

$V(X) = E({( X-\mu) }^2 ) \\ = \sum {( X_i - \mu)}^2p_i = {(17 - 4.4)}^2\times 0.3 + {(-1 - 4.4)}^2\times0.7 \\ = 68.04$

標準偏差

分散のルートを取って求めると、

$SD(X) = \sqrt{ V(X) } = \sqrt{ 68.04} \approx 8.248636$

一方、冒頭の公式で求めると、

$SD(X) = |X_1 - X_2 |\sqrt{ p(1-p) } = | 17 - (-1) | \sqrt{ 0.7 \times 0.3 } \approx 8.248636$

証明

確率分布は、 $X = {X_1, X_2}$ においてそれぞれ確率 $p,1-p$ であると設定する。この時、期待値は

$\mu = E(X) = \sum(X = X_i)p_i = X_1 p + X_2 (1-p)$

で計算できる。

分散は、 $V(X) = E({( X-\mu) }^2 ) = \sum {( X_i - \mu)}^2p_i = {( X_1 - \mu )}^2p+ {(X_2 - \mu)}^2(1-p)$

と計算できるがここで、 $\mu$ を消去すると、 $X_1 - \mu$ と $X_2 - \mu$ はそれぞれ、

$X_1 - \mu = X_1 - (X_1p + X_2(1-p) ) = (X_1 - X_2)(1-p)$
$X_2 - \mu = X_2 - (X_1p + X_2(1-p) ) = (X_2 - X_1)p$

となる。これを分散の式に代入すると、

$V(X) = {( X_1 - \mu )}^2p+ {(X_2 - \mu)}^2(1-p) \\ = {\bigl( (X_1 - X_2)(1-p) \bigr)}^2 p + { \bigl( (X_2 - X_1)p \bigr) }^2(1-p) \\ = { (X_1 - X_2) }^{2} {(1-p)}^{2}p+{(X_2 - X_1)}^{2}p^{2}(1-p) \\ = p(1-p)\bigl( {(X_1 - X_2)}^{2}(1-p) + {( X_2 - X_1)}^{2} p \bigr) \\ = p(1-p)\bigl( {(X_1 - X_2)}^{2}(1-p) + { \bigl( (-1)(X_1 - X_2)\bigr) }^{2} p \bigr) \\ = p(1-p)\bigl( {(X_1 - X_2)}^{2}(1-p+p) \bigr) \\ = p(1-p){(X_1 - X_2)}^2$