2026-11-09

■定理32.2 ハウスドルフ空間の1個の点からなる部分集合は閉集合である。

集合論位相

────────────
証明：
$X$ をハウスドルフ空間とし $x\in X$ とする。
$X=\{x\}$ のとき $\{x\}$ は明らかに $X$ の閉集合である。
$X\ne\{x\}$ のとき $y\in X\setminus\{x\}$ を任意にとる。
$y\ne x$ であることとハウスドルフ性から
$y\in O_y,\ x\in O_x,\ O_y\cap O_x=\emptyset$ となる開集合 $O_y,O_x$ が存在する。

$x\in O_y$ が成り立たないことを確認する。
　もし $x\in O_y$ とすると
　 $x\in O_x$ から $O_x\cap O_y\ne\emptyset$ となって矛盾。
　よって $x\notin O_y$ 。

したがって $O_y=O_y\setminus\{x\}$ なので
$O_y\subseteq X$ より $O_y\subseteq X\setminus\{x\}$ が成り立つ。
よって $y\in O_y\subseteq X\setminus\{x\}$ である。
$y$ は任意だったから、
$\forall y\in X\setminus\{x\},\ \exists O_y\in\mathcal{O},\ y\in O_y\subseteq X\setminus\{x\}$
が成り立つ。
したがって、 $X\setminus\{x\}$ は開集合であるから、
$\{x\}$ は閉集合となる。∎

2026-11-07

■命題：距離空間における相異なる2点の開集合による分離

位相

(X,d)を距離空間とする。
$x,y\in X$ を任意の異なる2点とする。
この時、xとyは開集合により分離されることを示せ。
────────────
$x\neq y$ から $d(x,y)>0$ である。 $L=d(x,y)$ とおき、 $\varepsilon=L/3$ とすると、 $x\in B(x,\varepsilon)\in\mathcal{O}_X,\ y\in B(y,\varepsilon)$ が成り立つ。

さて、 $B(x,\varepsilon)\cap B(y,\varepsilon)=\varnothing$ を背理法で示す。
$B(x,\varepsilon)\cap B(y,\varepsilon)\neq\varnothing$ と仮定する。
非空性から
$z\in B(x,\varepsilon)\cap B(y,\varepsilon)$ を取ることができる。
このとき $d(z,x)<\varepsilon,\ d(z,y)<\varepsilon$ より三角不等式から
$d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)<\varepsilon+\varepsilon=2\varepsilon=2L/3$
よって $L=d(x,y)<2L/3$ であるから
$L-2L/3=L/3<0\Rightarrow L<0$
しかし $L>0$ に矛盾する。
よって、 $B(x,\varepsilon)\cap B(y,\varepsilon)=\varnothing$ が成り立つ。

以上より、xを含む開集合、yを含む開集合、その２つの開集合の共通部分が $\varnothing$ であることが示せたので、xとyは開集合により分離されることを示せた。∎

2026-11-07

■距離空間の完備化の構成とその証明

集合論位相

────────────
$(X,d)$ を距離空間とする。
$C_X$ を $X$ のCauchy列を全て集めた集合とし
$(x_n)\sim(y_n) \iff \lim_{n\to\infty}d(x_n,y_n)=0$ と定義する
────────────
$\sim$ は同値関係となる。すなわち
・反射律
・対称律
・推移律
を満たす
推移律が成り立つこと：
$(x_n),(y_n),(z_n)\in C_X$ を任意にとる
$(x_n)\sim(y_n),(y_n)\sim(z_n)$ を仮定する。
各 $n$ に対して距離の定義と三角不等式から
$0\le d(x_n,z_n)\le d(x_n,y_n)+d(y_n,z_n)$ が成り立つ
極限をとると
$0\le\lim_{n\to\infty}d(x_n,z_n)\le\lim_{n\to\infty}d(x_n,y_n)+\lim_{n\to\infty}d(y_n,z_n)$
$=0+0=0$ よって挟みうちの原理より
$\lim_{n\to\infty}d(x_n,z_n)=0$
以上から $(x_n)\sim(z_n)$ が成り立つ。∎
────────────
$C_X$ の $\sim$ による商集合を $\hat{X}$ とする
　 $\hat{X}:=C_X/\sim$
────────────
■定理31.1
$(X,d)$ を距離空間とし
$(a_n),(b_n)$ を任意のコーシー列とする
このとき点列 $(d(a_n,b_n))_{n\in\mathbb{N}}$ は収束する
────────────
証明：
任意の $n,m\in\mathbb{N}$ に対して三角不等式から
$d(a_n,b_n)\le d(a_n,a_m)+d(a_m,b_m)+d(b_m,b_n)$
$d(a_m,b_m)\le d(a_n,a_m)+d(a_n,b_n)+d(b_m,b_n)$
が成り立つから
$|d(a_n,b_n)-d(a_m,b_m)|\le d(a_n,a_m)+d(b_m,b_n)$
が成り立つ。
さて、点列のコーシー性から
正数 $\varepsilon$ を任意に取ると、
ある $N\in\mathbb{N}$ が存在し、 $n,m>N$ ならば
$d(a_n,a_m)<\varepsilon/2,\ d(b_n,b_m)<\varepsilon/2$ を満たす。
したがって、
$|d(a_n,b_n)-d(a_m,b_m)|\le d(a_n,a_m)+d(b_m,b_n)$
$<\varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon$ が成り立つ。
$\varepsilon$ は任意だったから、
$\forall\varepsilon>0,\ \exists N\in\mathbb{N},\ \forall n,m>N$
$|d(a_n,b_n)-d(a_m,b_m)|<\varepsilon$
が成り立つ。
よって点列 $(d(a_n,b_n))_{n\in\mathbb{N}}$ は $\mathbb{R}$ 上のコーシー列となる。
したがって点列 $(d(a_n,b_n))_{n\in\mathbb{N}}$ は収束する。∎
────────────
■定理31.2
$(x_n)\sim(x_n'),\ (y_n)\sim(y_n')$ ならば
$\lim_{n\to\infty}d(x_n,y_n)=\lim_{n\to\infty}d(x_n',y_n')$
三角不等式から
$d(x_n,y_n)\le d(x_n,x_n')+d(x_n',y_n')+d(y_n',y_n)$
したがって
両辺の極限をとると
右辺第1,3項は $0$ に収束するから
$\lim_{n\to\infty}d(x_n,y_n)\le\lim_{n\to\infty}d(x_n',y_n')$
同様に
$\lim_{n\to\infty}d(x_n',y_n')\le\lim_{n\to\infty}d(x_n,y_n)$
よって
$\lim_{n\to\infty}d(x_n',y_n')=\lim_{n\to\infty}d(x_n,y_n)$
────────────
$\hat{X}$ に距離 $\hat{d}$ を入れる
$\hat{d}([(x_n)],[(y_n)])=\lim_{n\to\infty}d(x_n,y_n)$ と定義する
────────────
■定理31.3
$\hat{d}$ は $\hat{X}$ の距離である
三角不等式が成り立つこと：
$A,B,C\in\hat{X}$ を任意に取ると
$A=[(x_n)],B=[(y_n)],C=[(z_n)]$ となるようなコーシー列 $(x_n),(y_n),(z_n)$ を用いて表すことができる
したがって任意の $n\in\mathbb{N}$ に対して次の三角不等式
$d(x_n,z_n)\le d(x_n,y_n)+d(y_n,z_n)$ が成り立つ
また $(\alpha_n),(\beta_n)\in C_X$ を任意にとると
極限 $\lim_{n\to\infty}d(\alpha_n,\beta_n)$ が存在する。(定理31.1)
以上より
$\lim_{n\to\infty}d(x_n,z_n)\le\lim_{n\to\infty}d(x_n,y_n)+\lim_{n\to\infty}d(y_n,z_n)$
が得られる。
したがって $\hat{d}$ の定義より
$\hat{d}(A,C)\le\hat{d}(A,B)+\hat{d}(B,C)$ が言える。∎
────────────
$\iota:X\to\hat{X}$ を
$\iota(x)=[(x,x,\ldots)]\in\hat{X}$ とする
────────────
■定理31.4
$\iota$ は等長写像である
────────────
■定理31.5
$\iota(X)$ は $\hat{X}$ において稠密である
────────────
$\forall z\in\hat{X},\ \forall\varepsilon>0,\ \exists A\in\iota(X),\ \hat{d}(A,z)<\varepsilon$ を示せば良い
$z\in\hat{X}$ と正数 $\varepsilon$ を任意に取る。
すると商集合の定義から
ある $(z_n)\in C_X$ が存在し、 $z=[(z_n)]$ と表せる
$(z_n)$ はコーシー列なので、
ある番号 $N$ が存在し、 $n,m>N$ ならば $d(z_n,z_m)<\varepsilon/2$ を満たす。
ここで $m>N$ を一つ固定する。
すると $z_m\in X$ だから $A=\iota(z_m)\in\iota(X)$
よって $\hat{d}(A,z)=\hat{d}(\iota(z_m),[(z_n)])$
$=\lim_{n\to\infty}d(z_m,z_n)\le\varepsilon/2<\varepsilon$
以上より $\iota(X)$ は稠密である。∎
────────────
■定理31.6
$\hat{X}$ は完備である
────────────
$(A_n)$ を $\hat{X}$ の任意のコーシー列とする。
このときある $A\in\hat{X}$ が存在し、
$\lim_{n\to\infty}\hat{d}(A_n,A)=0$ を示せばよい。
証明：
$(A_n)$ を $\hat{X}$ の任意のコーシー列とする。
さて、定理31.5[稠密性]より
各 $n\in\mathbb{N}$ に対して、 $A_n\in\hat{X},\ 1/n>0$ , において
ある $B_n\in\iota(X)$ が存在し、 $\hat{d}(A_n,B_n)<1/n$ が成り立つ
各 $n$ に対してそのような $B_n$ を一つずつ選び $(B_n)$ を構成する。
ここで $(B_n)$ がコーシー列であることを示す。
$\varepsilon>0$ を任意に取る
$(A_n)$ のCauchy性から
ある $N_1\in\mathbb{N}$ が存在し
任意の $n,m>N_1$ に対して
　 $\hat{d}(A_n,A_m)<\varepsilon/3$ が成り立つ
また、 $1/k\to0$ からある $N_2\in\mathbb{N}$ が存在し
$\forall k>N_2,\ 1/k<\varepsilon/3$
を満たすものがとれる
ここで $N:=\max\{N_1,N_2\}$ と定める
三角不等式から
任意の $n,m\in\mathbb{N}$ に対して
$\hat{d}(B_n,B_m)\le\hat{d}(B_n,A_n)+\hat{d}(A_n,A_m)+\hat{d}(A_m,B_m)$
$<(1/n)+\hat{d}(A_n,A_m)+(1/m)$
が成り立つ。
ここで任意に $n,m>N$ を取ると
$\hat{d}(B_n,B_m)<(1/n)+\hat{d}(A_n,A_m)+(1/m)$
$<\varepsilon/3+\varepsilon/3+\varepsilon/3=\varepsilon$
を満たす。
したがって任意の $\varepsilon>0$ に対して
ある $N\in\mathbb{N}$ が存在し
任意の $n,m>N$ に対して
$\hat{d}(B_n,B_m)<\varepsilon$ が成り立つ。
よって $(B_n)$ は $\hat{X}$ 上のコーシー列である。
さて
$\forall n\in\mathbb{N},\ B_n\in\iota(X)$ より
各 $n$ に対してある $x_n\in X$ が存在し
$B_n=\iota(x_n)$ と書ける
また、 $\iota$ は等長写像であるから
$d(x_n,x_m)=\hat{d}(\iota(x_n),\iota(x_m))=\hat{d}(B_n,B_m)$
となるから、 $(B_n)$ のコーシー性より
$(x_n)$ は $X$ 上のコーシー列となる
ここで $A=[(x_n)]\in\hat{X}$ とおく
三角不等式より
各 $n$ について
$\hat{d}(A_n,A)\le\hat{d}(A_n,B_n)+\hat{d}(B_n,A)$
$<(1/n)+\hat{d}(B_n,A)$
ここで
$\hat{d}(B_n,A)=\hat{d}(\iota(x_n),[(x_k)])$
$=\lim_{k\to\infty}d(x_n,x_k)$ である
$(B_n)$ が $A$ に収束すること、すなわち
$\forall\varepsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},\forall n>N,\hat{d}(B_n,A)<\varepsilon$ を示す。
さて任意に $\varepsilon>0$ をとる
$(x_n)$ のコーシー性から
ある $N\in\mathbb{N}$ が存在し
$\forall n,k>N,\ d(x_n,x_k)<\varepsilon/2$ が成り立つ
ここで任意に $n>N$ をひとつ取り固定すると
すべての $k>N$ について
$d(x_n,x_k)<\varepsilon/2$ が成り立つ
したがって、 $n$ を固定したまま $k\to\infty$ とすると
$\lim_{k\to\infty}d(x_n,x_k)\le\varepsilon/2<\varepsilon$
が得られる
一方、 $\hat{d}$ の定義から
$\hat{d}(B_n,A)=\lim_{k\to\infty}d(x_n,x_k)$ であるから、
$\hat{d}(B_n,A)<\varepsilon$
$n>N$ は任意だったから
$\forall n>N,\ \hat{d}(B_n,A)<\varepsilon$ が成り立つ
$\varepsilon>0$ は任意だったから、
$\forall\varepsilon>0,\ \exists N\in\mathbb{N},\ \forall n>N,\ \hat{d}(B_n,A)<\varepsilon$ が成り立つ
よって収束の定義から
$\lim_{n\to\infty}\hat{d}(B_n,A)=0$
したがって
任意の $n$ について
$0\le\hat{d}(A_n,A)<(1/n)+\hat{d}(B_n,A)$
また $\lim_{n\to\infty}\bigl((1/n)+\hat{d}(B_n,A)\bigr)=0$
はさみうちの原理から
$\lim_{n\to\infty}\hat{d}(A_n,A)=0$
ゆえに $A_n\to A$
したがって
$(A_n)$ は任意の $\hat{X}$ 上のコーシー列であり
その収束先 $A\in\hat{X}$ が存在することを示せた。
以上より、 $\hat{X}$ は完備である。∎
────────────

2026-11-01

逆三角不等式〜その2〜

集合論位相

axjack.hatenablog.jp 以前も書いたが4点版も加えて書いてみる。

3点版の逆三角不等式

三角形ABCの各辺をa,b,cとする。三角不等式から

$a\le b+c$ より $a-b \le c$
$b \le b+c$ より $b-a \le c$

となるので $|a-b| \le c$

4点版の逆三角不等式

四角形ABCDの各辺をa,b,c,eとする。三角不等式から

$a ≦ b+c+e$ より $a-c ≦b+e$
$c ≦ a+b+e$ より $c-a ≦b+e$

となるので $|a-c| ≦ b+e$

距離空間 $(X,d)$ にて成り立つことを確認する

4点 $x_n, x_m, y_n, y_m ∈ X$ を取る。三角不等式から $d(x_n,y_n)≦d(x_n,x_m)+d(x_m,y_m)+d(y_m,y_n)$ が成り立つ。よって $d(x_n,y_n)-d(x_m,y_m)≦d(x_n,x_m)+d(y_m,y_n)$

同様に、 $d(x_m,y_m)-d(x_n,y_n)≦d(x_n,x_m)+d(y_m,y_n)$

以上より、
$|d(x_n,y_n)-d(x_m,y_m)|≦d(x_n,x_m)+d(y_m,y_n)$

2026-09-21

1点を固定した距離関数は連続/閉球は閉集合

位相

$(X,d)$ を距離空間とする。
$x∈X$ を一つ固定する。
$f:X→ℝ$ 、 $f(y) = d(x,y)$ とする。
点 $a∈X$ について $f$ が連続であることを示す。
つまり $∀ε>0, ∃δ>0, |y-a|<δ⇒ |f(y)-f(a)|<ε$ を示せば良い。

さて、 $(-∞,r]$ は $ℝ$ の閉集合である。
よって $f$ の連続性から
$f‪^{-1}‬((-∞,r])$ は $X$ の閉集合である
$f‪^{-1}((-∞,r]) = \{y∈X|f(y)∈(-∞,r]\}$
$= \{y∈X| d(x,y) ≦ r\}$

したがって、閉球は閉集合である。∎

2026-09-21

逆三角不等式

位相

$(X,d)$ を距離空間とし、 $x,y,z∈X$ とする。

三角不等式
$d(x,y) ≦ d(x,z) + d(z,y)$
↪︎寄り道すると長くなる

逆三角不等式
$| d(x,y) - d(x,z) | ≦ d(y,z)$
↪︎二辺の差は残りの一辺以下の長さ

逆三角不等式の証明
$d(x,y) ≦ d(x,z) + d(z,y)$ より
$d(x,y) - d(x,z) ≦ d(z,y) = d(y,z)$
同様に
$d(x,z) ≦ d(x,y) + d(y,z)$ より
$d(x,z) - d(x,y) = -(d(x,y) - d(x,z)) ≦ d(y,z)$

したがって
$| d(x,y) - d(x,z) | ≦ d(y,z)$ ∎

2026-09-16

f(f‪⁻¹‬(B)) ⊂ BとA ⊂ f‪⁻¹‬(f(A))を覚える

数学集合論

Y={偶数,奇数,妙数}とし、写像f:ℕ→Yをn∈ℕが偶数ならばf(n)=偶数、n∈ℕが奇数ならばf(n)=奇数とする。妙数はfで到達できないものとする。

f(f‪⁻¹‬(B)) ⊂ B

B⊂YをB = {奇数,妙数}とする。
f‪⁻¹‬(B) = {n ∈ℕ | nは奇数}であるから
f(f‪⁻¹‬(B)) = {奇数}となる。
したがって、f(f‪⁻¹‬(B)) ⊂ Bとなる。
なお、f(X)∩B = {偶数,奇数}∩{奇数,妙数}={奇数}
であるからf(X)∩B = f(f‪⁻¹‬(B))となる。

イメージ

Bをfで引き戻すと、f(x)∈Bとなるxだけが選ばれる( f‪⁻¹‬(B) = { x∈ℕ | f(x)∈B }だからそれはそう)ので、それをfで送ると最初のBから縮小する。ので、結果f(f‪⁻¹‬(B)) ⊂ Bを得る。

A ⊂ f‪⁻¹‬(f(A))

A⊂ℕをA = {2,4,6}とする。
f(A) = {偶数}であるから
f‪⁻¹‬(f(A)) = {n∈ℕ| nは偶数}となる。
したがって、A ⊂ f‪⁻¹‬(f(A))となる。

イメージ

Aを送って戻すと余計なモノが増える膨張する。今回だと、f(A)で{偶数}になってからのf‪で引き戻すことで「自然数のうち偶数となるもの全体」を引っ張ってくる。ので、結果A ⊂ f‪⁻¹‬(f(A))を得る。

2026-08-20

問25.3

位相

────────────
$(X,\mathcal{O})$ を位相空間、 $(A_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ を $X$ の連結部分集合からなる集合族とし、 $A=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda$ とおく。
任意の $\lambda,\mu\in\Lambda$ に対して、 $A_\lambda\cap A_\mu\neq\varnothing$ ならば $A$ は連結であることを示せ。
────────────
背理法で示す。
$A$ が非連結であると仮定する。
するとある非空な $A$ の開集合 $U,V$ が存在し、
$A=U\cup V,\quad U\cap V=\varnothing$
を満たす。

補題★：
$\lambda\in\Lambda$ を任意に取る。
$A_\lambda\subset A$ より $A_\lambda$ は $A$ の部分空間である。
したがって
$A_\lambda\cap U,\quad A_\lambda\cap V$
は $A_\lambda$ の開集合である。
また、
$(A_\lambda\cap U)\cup(A_\lambda\cap V)=A_\lambda$
$(A_\lambda\cap U)\cap(A_\lambda\cap V)=\varnothing$
である。 $A_\lambda$ の連結性から
$(A_\lambda\cap U)=A_\lambda\quad\land\quad(A_\lambda\cap V)=\varnothing$
または
$(A_\lambda\cap U)=\varnothing\quad\land\quad(A_\lambda\cap V)=A_\lambda$
が言える。
したがって
$A_\lambda\subset U\quad\mathrm{or}\quad A_\lambda\subset V$
となる。
$\lambda$ は任意だったので、
$\forall\lambda\in\Lambda,\quad (A_\lambda\subset U\quad\mathrm{or}\quad A_\lambda\subset V)$
が成り立つ。(★)

証明：
さて、 $U\neq\varnothing$ より $x_0\in U$ を取る。
$x_0\in U\subset A=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda$ より
ある $\lambda_0\in\Lambda$ が存在し $x_0\in A_{\lambda_0}$ を満たす。
$x_0\in U\cap A_{\lambda_0}$ より $U\cap A_{\lambda_0}\neq\varnothing$ 。

もし $A_{\lambda_0}\subset V$ ならば $x_0\in V$ となるが、
$x_0\in V\cap U=\varnothing$
となり矛盾。
したがって $A_{\lambda_0}\not\subset V$ 。
よって★より $A_{\lambda_0}\subset U$ 。

次に $\mu\in\Lambda$ を任意にとる。
仮定より $A_{\lambda_0}\cap A_\mu\neq\varnothing$ 。
よって $y\in A_{\lambda_0}\cap A_\mu$ を取れる。…①
　よって $y\in A_{\lambda_0}$
　　よって $y\in U$ （ $A_{\lambda_0}\subset U$ より）…②
よって $y\in A_\mu$ （①より）…③
よって $y\in A_\mu\cap U$ （②③より）
よって $A_\mu\cap U\neq\varnothing$ 。

ここでもし $A_\mu\subset V$ とすると
$y\in V$ かつ $y\in U$ となるが、
$y\in U\cap V=\varnothing$
となり矛盾。
したがって $A_\mu\not\subset V$ 。
よって★より $A_\mu\subset U$ 。
$\mu$ は任意だったので、
$\forall\mu\in\Lambda,\quad A_\mu\subset U$ 。