axjack's blog

### axjack is said to be an abbreviation for An eXistent JApanese Cool Klutz ###

ランダムウォークと単位根

単位根を持つ時系列の例
 U_{t} = U_{t-1} + \varepsilon_{t}
を可視化、および階差をとって可視化してみる。時系列データ分析p.98 より。

一次元ランダムウォークの階差

f:id:axjack:20211231232451p:plain

ADF検定の結果

ADF検定は単位根の有無を検定するもので、帰無仮説は「データ系列に単位根が存在する」である。
有意水準5%としてみると検定の結果、原系列(adf.test(y))の帰無仮説は棄却できなさそう。差分系列(adf.test(diff(y)))についてはp値 < 0.01より帰無仮説を棄却できそうである。

> adf.test(y)

Augmented Dickey-Fuller Test

data: y
Dickey-Fuller = -2.5377, Lag order = 6, p-value = 0.3494
alternative hypothesis: stationary

> adf.test(diff(y))

Augmented Dickey-Fuller Test

data: diff(y)
Dickey-Fuller = -5.6887, Lag order = 6, p-value = 0.01
alternative hypothesis: stationary

Warning message:
In adf.test(diff(y)) : p-value smaller than printed p-value

コード

# 単位根を持つ時系列データ
# p.98

# 一次元ランダムウォーク
y <- cumsum( rnorm(2^8) )
y <- ts(y)


dev.off()
par(family="HiraKakuProN-W3")
split.screen(c(2,1))
split.screen(c(1,2), screen = 2)
screen(1);plot(y, main = "1次元ランダムウォーク")
abline(h = mean(y), col="red")
screen(3);acf(y, main = "自己相関係数")
screen(4);pacf(y, main = "偏自己相関係数")


dev.off()
par(family="HiraKakuProN-W3")
split.screen(c(2,1))
split.screen(c(1,2), screen = 2)
screen(1);plot(diff(y), main = "1次元ランダムウォークの階差")
abline(h = mean(diff(y)), col="red")
screen(3);acf(diff(y), main = "自己相関係数")
screen(4);pacf(diff(y), main = "偏自己相関係数")

ARとMAの自己相関係数と偏自己相関係数

統計学実践ワークブックのp.248の表を、グラフにて確かめる。表27.1の内容を一部引用。

選択モデル 自己相関係数 偏自己相関係数
AR(1) ゆっくりと減衰 2次以降0
MA(1) 2次以降0 ゆっくりと減衰
AR(2) ゆっくりと減衰 3次以降0
MA(2) 3次以降0 ゆっくりと減衰

AR(1)とMA(1)

f:id:axjack:20211231184209p:plain

AR(2)とMA(2)

f:id:axjack:20211231184237p:plain

コード

rm(list=ls())

# 諸準備
dev.off()
par(family="HiraKakuProN-W3")
par(mfrow=c(2,2))

# AR(1)とMA(1) ####
y1 <- arima.sim(n=1000, list(ar=c(0.5))) 
y2 <- arima.sim(n=1000, list(ma=c(0.8))) 
y1 |> acf(main="AR(1)の自己相関係数")
y1 |> pacf(main="AR(1)の自己相関係数")
y2 |> acf(main="MA(1)の自己相関係数")
y2 |> pacf(main="MA(1)の偏自己相関係数")

# AR(2)とMA(2) ####
y3 <- arima.sim(n=1000, list(ar=c(0.4,0.2))) 
y4 <- arima.sim(n=1000, list(ma=c(0.8,0.4))) 
y3 |> acf(main="AR(2)の自己相関係数")
y3 |> pacf(main="AR(2)の自己相関係数")
y4 |> acf(main="MA(2)の自己相関係数")
y4 |> pacf(main="MA(2)の偏自己相関係数")

時系列データ分析に登場する統計的仮説検定

gihyo.jp

ということで、本書に出てくる統計的仮説検定をまとめます。

Shapiro-Wilkの検定

連の検定

  • 2値のデータの並びについて規則性の有無を確かめる検定
  • 帰無仮説:+と-の並び方に規則性はない
  • p.62

Ljung-Box検定

  • 自己相関関係の有無について判断する検定
  • 帰無仮説:ラグkまでの自己相関係数が0である
  • p.80

Dickey-Fuller検定(ADF検定)

  • 単位根の有無の検定
  • 帰無仮説:データ系列に単位根が存在する
  • p.99

Kolmogorov-Smirnov検定

  • 汎用的な適合度検定
  • 2つの母集団確率分布が等しいか否かを、
  • 標本から経験分布関数を作りそれを比較して調べる
  • 帰無仮説:2つの母集団の確率分布は等しい
  • p.129
axjack is said to be an abbreviation for An eXistent JApanese Cool Klutz.