統計学実践ワークブック第31章ベイズ法の例1

問題の概要

設定
- 普及率p
- 20世帯中x世帯が保有している
- pの事前分布にはベータ分布：Beta(2,20)を仮定
問
- 事後分布を求めよ

回答

ベイズモデルとして考えるとパラメトリックモデルは、
$X|p \sim Bin(20,p), \\ f(X = x |p) = {}_{20}C_x p^{x} (1-p)^{20-x}$

であり、事前分布は、
$p \sim Beta(2,20),\\ \pi(p|2,20) = \frac{ p^{2-1}(1-p)^{20-1} }{beta(2,20)}$

となる。したがって事後分布は

$\displaystyle \pi(p|X) = \frac{ f(X|p)\pi(p|2,20) }{ ∫_{p}^{} f(X|p)\pi(p|2,20)dp } \\ \displaystyle = \frac{ {}_{20}C_x p^{x} (1-p)^{20-x} \frac{ p^{2-1}(1-p)^{20-1} }{beta(2,20)} }{ ∫_{p}^{} {}_{20}C_x p^{x} (1-p)^{20-x} \frac{ p^{2-1}(1-p)^{20-1} }{beta(2,20)} } \\ \displaystyle = \frac{ p^{x+1} (1-p)^{39-x} } { ∫_{p}^{} p^{x+1} (1-p)^{39-x} dp } \\ \displaystyle = \frac{ p^{(x+2)-1} (1-p)^{(40-x)-1} } { ∫_{p}^{} p^{(x+2)-1} (1-p)^{(40-x)-1} dp } \\ \displaystyle = \frac{ \frac{p^{(x+2)-1} (1-p)^{(40-x)-1}}{beta(x+2,40-x)} } { ∫_{p}^{} \frac{p^{(x+2)-1} (1-p)^{(40-x)-1}}{beta(x+2,40-x)} dp } \\ \displaystyle = \frac{ \frac{p^{(x+2)-1} (1-p)^{(40-x)-1}}{beta(x+2,40-x)} } { 1 } \\ \displaystyle = \frac{p^{(x+2)-1} (1-p)^{(40-x)-1}}{beta(x+2,40-x)} \\$

となる。よって、事後分布はベータ分布：Beta(x+2,40-2)となる。

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