統計学実践ワークブック第1章事象と確率問1.3

[解くときのコツ]
問1.3の概要
条件付き確率
- 定義
- 亜種と簡単な応用
解答
- [1]
- [2]
参考

[解くときのコツ]

1段階目　→　解けるけど腑に落ちない
- 条件付き確率を使った典型例*1ではあるが、やはり難しい。1%とか99%とか0.1%などといった微妙な数字が並んで混乱しがち。なんとなく計算はできるけど立式の見通しが立たない。気合いで解けることはある。解答を見ても分子分母がやたらと長くて萎える。
2段階目　→　面積図*2？を書いてみる
- 立式が思い付かないけど図さえ書ければ解けることに気づく。解ければいいっしょ、というスタンス。
3段階目　→　全て記号で考える
- 図を書くのが面倒になる。むしろ記号で表すことができれば、手書きでもプレーンテキストでもLaTeXでも書けてたとえツールが何もなくても口頭で(頭上で？暗唱で？)式を展開できるという利便性に気づく。

問1.3の概要

ワークブックp.4を参照。

条件付き確率

定義

$P(A|B) = \frac{ P(A,B) }{ P(B) }$

亜種と簡単な応用

事象が増えたバージョン

$\displaystyle P(左|右) = \frac{P(左,右)}{P(右)}$

$\displaystyle P(A,B|C ) = \frac{P(A,B,C)}{P(C)}$

$\displaystyle P(A|B,C ) = \frac{P(A,B,C)}{P(B,C)}$

余事象を挿入する

$P(A|B) = \frac{ P(A,B) }{ P(B) } = \frac{ P(A,B,X) + P(A,B,X^C)} {P(B)} \\ = P(A,X|B) + P(A,X^C|B)$

その他

「事象Aで条件つけた事象X、の確率」と「事象Aで条件つけた『事象Xの余事象』、の確率」の和は1
$P(X|A) + P(X^C|A) = \frac{P(X,A)}{P(A)} + \frac{P(X^C,A)}{P(A)} \\ = \frac{P(X,A) + P(X^C,A)}{P(A)} \\ = \frac{P(A)}{P(A)} = 1$

３つの事象の積事象を条件付き確率で分解する
$P(A,B,C) = P(A|B,C)P(B,C) \\ = P(A|B,C)P(B|C)P(C)$

まれによく見る変形
$P(A,B| C) = \frac{ P(A,B,C) } {P(C)} = \frac{P(A|B,C)P(B,C)}{P(C)} \\ = P(A|B,C)P(B|C)$

解答

情報をまとめると、

記号	確率	内容
$P(X)$	1/100	病気である確率
$P(X^C)$	99/100	病気ではない確率
$P(Y_1 \mid X)$	99/100	病気の人が検査1で陽性となる確率
$P(Y_1 \mid X^C )$	2/100	病気ではない人が検査1で陽性となる確率
$P(Y_2 \mid Y_1, X)$	90/100	病気であり検査1で陽性となった人、が検査2で陽性となる確率
$P(Y_2 \mid Y_1, X^C )$	10/100	病気ではないが検査1で陽性となった人、が検査2で陽性となる確率

[1]

$P(X|Y_1)$ を求めれば良い。条件付き確率より、

$\displaystyle P(X|Y_1) = \frac{ P(X,Y_1) } { P(Y_1) }\\ \displaystyle = \frac{P(Y_1,X) } { P(Y_1) } \\ \displaystyle = \frac{ P(Y_1|X)P(X) } { P(Y_1) }\\ \displaystyle = \frac{ P(Y_1|X)P(X) } { P(Y_1,X) + P(Y_1,X^C) }\\ \displaystyle = \frac{ P(Y_1|X)P(X) } { P(Y_1|X)P(X) + P(Y_1|X^C)P(X^C) }$

[2]

$P(X|Y_2, Y_1 )$ を求めれば良い。

$\displaystyle P(X|Y_2, Y_1 ) = \frac{P(X,Y_2,Y_1)}{P(Y_2,Y_1)}\\ \displaystyle = \frac{P(Y_2,X,Y_1)}{P(Y_2,Y_1)}\\ \displaystyle = \frac{P(Y_2|X,Y_1)P(X,Y_1)}{P(Y_2,Y_1)}\\ \displaystyle = \frac{P(Y_2|X,Y_1)P(X|Y_1)P(Y_1)}{P(Y_2,Y_1)}\\ \displaystyle = \frac{P(Y_2|X,Y_1)P(X|Y_1)}{\frac{P(Y_2,Y_1)}{P(Y_1)}}\\ \displaystyle = \frac{P(Y_2|X,Y_1)P(X|Y_1)}{P(Y_2|Y_1)}\\ \displaystyle = \frac{P(Y_2|X,Y_1)P(X|Y_1)}{ P(Y_2,X|Y_1) + P(Y_2,X^C|Y_1 ) } \\ \displaystyle = \frac{P(Y_2|X,Y_1)P(X|Y_1)}{ P(Y_2|X,Y_1)P(X|Y_1) + P(Y_2|X^C,Y_1)P(X^C|Y_1) } \\$