「平均点以上の人の平均点」を求めるための条件付き確率密度関数が確率密度関数であることを確認する

問題の引用元
問題の要約
解(の途中まで)
- Q1
- Q2
条件付き確率密度関数が確率密度関数であることの確認
参考

問題の引用元

www.youtube.com
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問題の要約

$\rm{X} \sim N(60,10^2)$
Q1: $\rm{X}$ の第１四分位・第３四分位を求めよ
Q2: $\rm{E}[ X | X \ge 60 ]$ を求めよ

解(の途中まで)

Q1

Xは正規分布に従う。ひとまず $Z = \frac{X - 60}{10}$ と標準化して考える。
第１四分位は累積密度関数の下側25%点なので、 = -0.674。
- 逆標準化？して $X = 10 \times (-0.674) + 10 = 53.2551$
第３四分位は累積密度関数の下側75%点なので、 = 0.674。
- 逆標準化？して $X = 10 \times (0.674) + 10 = 66.7449$

Q2

Xは正規分布に従う。ひとまず $Z = \frac{X - 60}{10}$ と標準化して考える。
標準化すると、 $\rm{E}[ X | X \ge 60 ]$ は $\rm{E}[ Z | Z \ge 0 ]$ と考えればよい(※同一ではないので最後に逆標準化する)。

さて、大変雑であるが…求めたいのは標準正規分布の原点から右側の期待値である。

すると、期待値は $\displaystyle E[X|X\ge0 ]$ = $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} z \frac{ f(z|z \ge 0) }{P(z \ge 0 ) } dz$ を計算すれば求まる。ここでfは標準正規分布でPは標準正規分布から計算する確率である。

ここまで(から実際の答え導出まで)の流れは上述の動画で分かりやすく解説してあるので動画を参照すれば大丈夫です。

条件付き確率密度関数が確率密度関数であることの確認

ところで、 $\displaystyle \frac{ f(z|z \ge 0) }{P(z \ge 0 ) }$ は確率密度関数なのだろうかという点に私は疑問を持ったので略証してみる。確率密度関数だったら実数の範囲で積分して1になることを示せばよい。

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{ f(z|z \ge 0) }{P(z \ge 0 ) } dz$
$\displaystyle = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{ f(z) \unicode{x1D7D9}(z \ge 0) }{P(z \ge 0 ) } dz$
$\displaystyle = \int_{0}^{\infty} \frac{ f(z) }{P(z \ge 0 ) } dz$
$\displaystyle = \frac{1}{ P(z \ge 0 ) } \int_{0}^{\infty} f(z) dz$
$\displaystyle = \frac{1}{ P(z \ge 0 ) } P(z \ge 0 )$
$\displaystyle = 1$