axjack's blog

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2019年6月 統計検定準一級 問1

はじめに

本番で解けなかった問題を解いてみます。今回は問1です。この問題で問われていることは

  • 確率分布の和
  • 条件付き確率分布

です。似たような問題ないかなぁと調べてみるとなんと、アクチュアリーの昭和39年数学1の問3にほぼ同じような問題があったので、これを見つつ今回の問題を解いてみることにしました。

問題を解く

以下、

  • λ1 : 3
  • λ2: 2
  • Z : 4

を代入すると記述1〜記述4の解となります。

ポアソン分布の性質

ポアソン分布P(X = k ; {\lambda}) = exp(-{\lambda}) \Big( \frac{ {\lambda}^k }{k!} \Big) は、

  • 平均 : λ
  • 分散 : λ

です。

ポアソン分布に従う確率変数の和の分布

P(X = k ; \lambda_1), P(Y = k ; {\lambda}_2)の時、P(X + Y = Z )が従う分布を求めます。

(はてなのmathjax記法がエラるので画像にて。。)

f:id:axjack:20190623201739p:plain

となるので、

f:id:axjack:20190623201911p:plain

が和の分布となる(ポアソン分布の再生性が確認できた)。よって、和の分布は

  • 平均 : λ1 + λ2
  • 分散 : λ1 + λ2

となる。

条件付き確率分布

求めるのは、

f:id:axjack:20190623202157p:plain

という確率分布である。計算すると、

f:id:axjack:20190623203547p:plain

となるので、この条件付き確率分布は二項分布となる。

したがって、平均値は

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となる。