コーシーシュワルツの不等式

$\displaystyle a$ と $\displaystyle b$ を実ベクトルとする。このとき

$\displaystyle |a \cdot b| \le \|a\|\,\|b\|$

が成り立つ。

証明の前に

ここで、

$\displaystyle |t|$ は実数の絶対値
$\displaystyle \cdot$ は内積
はノルム
- $\displaystyle x\cdot x \ge 0$ より $\displaystyle \|x\| \ge 0$ 、ノルムの非負性

とする。

証明

$\displaystyle a=\vec{0}$ の時、 $\displaystyle a\cdot b = 0$ また $\displaystyle \|a\|=0$ よりコーシーシュワルツの不等式は成り立つ。 $\displaystyle b=\vec{0}$ のときも $\displaystyle a=b=\vec{0}$ のときも同様であるから、以下 $\displaystyle a,b$ は非ゼロベクトルとする。

さて、

$\displaystyle \lambda = \frac{a \cdot b}{b\cdot b}$

と置き、

$\displaystyle u = a - \lambda b$

と定める。このとき、 $\displaystyle b$ と $\displaystyle u$ は直交することがわかる。実際、

$\displaystyle b \cdot u = b \cdot (a - \lambda b)\\ = b\cdot a - \lambda b\cdot b \\ = a\cdot b - \frac{a\cdot b}{b\cdot b} b\cdot b = 0$

となる。改めて、

$\displaystyle a = \lambda b + u$

とする。*1

まず、上式両辺のノルムの二乗を計算すると、

$\displaystyle \|a\|^2 = \|\lambda b + u\|^2 \\ = (\lambda b+u)\cdot(\lambda b+u)\\ = \lambda^2 b\cdot b + 2\lambda b\cdot u + u\cdot u$

となるが、 $\displaystyle b\cdot u=0$ なので上式の第二項は $\displaystyle 0$ となる。また、内積とノルムの関係式 $\displaystyle \|x\|^2=x\cdot x$ より

$\displaystyle \|a\|^2 = \lambda^2\|b\|^2 + \|u\|^2$

となる。更に、ノルムの非負性 $\displaystyle \|u\|^2 \ge 0$ より

$\displaystyle \|a\|^2 \ge \lambda^2\|b\|^2$

を得る。

そして、 $\displaystyle \lambda$ を代入し整えると、不等式の右辺は以下となる。

$\displaystyle \lambda^2\|b\|^2 = \left(\frac{a\cdot b}{b\cdot b}\right)^2\|b\|^2 \\ = \left(\frac{a\cdot b}{\|b\|^2}\right)^2\|b\|^2 = \frac{(a\cdot b)^2}{\|b\|^2}$

従って、左辺と合わせて

$\displaystyle \|a\|^2 \ge \frac{(a\cdot b)^2}{\|b\|^2}\\ \iff \|a\|^2 \, \|b\|^2 \ge (a\cdot b)^2$

最後に両辺の平方根を取ることで、コーシーシュワルツの不等式

$\displaystyle |a \cdot b| \le \|a\|\,\|b\|$

を得る。

コーシーシュワルツの不等式の等号成立条件

$\displaystyle a = \lambda b + u$

からの議論で

$\displaystyle u$ がゼロベクトルの時、コーシーシュワルツの不等式は等号成立。すなわち $\displaystyle a=\lambda b$ のときである。実際、 $\displaystyle \|a\|^2 = \lambda^2\|b\|^2$ を計算すれば等号成立は明らかである。