ならば であった。 ではについてはなのか？これを確認する 下界集合の包含関係 とする。を確かめる。 を任意に一つ取ると 任意のについて である。 ところで より任意のAの要素は必ずBに属するので、 よってが言えてつまり。以上よりが示された。 下限の大小…

A, Bを非空とし、とする。 上界集合の比較 上界(upper limit) A,Bの上界集合をそれぞれ とする。を示せ。証明： を示せば良い。 まずを任意に取る。 は上界なので。 また、から。 従ってを得る。 以上より、すなわちが示された。 上限の比較 上限(sup) A, B…

コーシーシュワルツの不等式 と を実ベクトルとする。このときが成り立つ。 証明の前に ここで、 は実数の絶対値 は内積 はノルム より 、ノルムの非負性 とする。 証明 の時、 また よりコーシーシュワルツの不等式は成り立つ。 のときも のときも同様であ…

同時確率密度関数 とする。 確率変数の組 の同時確率密度関数が で与えられている。 このとき、次を確認もしくは計算せよ。 の 軸への射影 の 軸への射影 を固定した時の水平断面 を固定した時の垂直断面 同時密度を積分し になること の周辺分布、および平…

対数正規分布の密度・平均・分散・中央値 のとき が従う分布を対数正規分布と言う。 の密度・平均・分散・中央値を求めよ。 密度 1) 変数変換で用いる関数の確認 関数 は より諸々端折って全単射なので逆関数が存在し、、 である。 2) 累積分布 とし の累積…

切断した指数分布 問題 確率変数 は指数分布に従いその密度関数をとする。このとき、としてを求めよ。 解答 である。まず分母側は、である。次に分子側は、となるが、ところでよりである。従って、となる。

ローン(元利均等返済)：毎月返済額 A の計算公式の導出 元金 年利 月利 返済年数 返済回数 でローンを組む。 固定金利で元利均等返済とし毎月返済額を とする。 元金の将来価値に成り立つ式 元金の将来価値が各月返済額の将来価値の総額に等しくなるように各…

パラメータ を持つ失敗回数型の幾何分布に従う確率変数 を考える。事象 の確率は で与えられる。 問題 を求めよ。 解答 準備として、まず等比数列 において、 第 項以降の総和は であるから*1*2 である。また から、両辺 で微分することにより である。以上…

準備 (*) を で1回微分すると、(*) を で2回微分すると、 失敗回数型の幾何分布の期待値 成功確率 を持つ失敗回数型の幾何分布に従う確率変数を とする。確率質量関数はである（ここで とおく）。 期待値 分散 まず、したがって、

パラメータ のポアソン分布に従う確率変数 を考える。確率質量関数は である。このとき、切断した確率変数 の期待値は、

切断分布の期待値 確率変数 に対し、条件 の下での分布を「切断分布 (truncated distribution)」という。これは確率変数の値域を に制限した確率変数 とみなせる。ここで改めて、切断範囲 をボレル集合 () と置くと、その下での期待値は、となる。*1 *2 *3 *…

非負の連続型確率変数を とし、密度関数を とする。任意の非負の実数 について、が成り立つので、 は、ここで、, であるから積分領域は である。ところで、今の積分順序の場合 であるが順序を交換すると、 となる。したがって、

『データ解析のための数理統計入門』と同じ方針*1で、 を用いて導出する。 導出 お気持ち 4行目の二重総和 は外側の を固定して、 の和を計算する。つまり が先で、それに応じた が添字範囲となる。これに対して、 を先に決めてから の範囲を決めるのが5行目…