を非空な集合とする。を単射な写像とし、を添字集合とするの部分集合族をとする。[定理] [証明] まず、 を任意に取る。 集合族の共通部分の定義より、 各に対して、 像の定義より、 各に対して、あるが存在し、次に、 固定したに対して となるを一つ選ぶ。 …

ならば であった。 ではについてはなのか？これを確認する 下界集合の包含関係 とする。を確かめる。 を任意に一つ取ると 任意のについて である。 ところで より任意のAの要素は必ずBに属するので、 よってが言えてつまり。以上よりが示された。 下限の大小…

A, Bを非空とし、とする。 上界集合の比較 上界(upper limit) A,Bの上界集合をそれぞれ とする。を示せ。証明： を示せば良い。 まずを任意に取る。 は上界なので。 また、から。 従ってを得る。 以上より、すなわちが示された。 上限の比較 上限(sup) A, B…