fが単射のとき、∩f(Aλ) (λ∈Λ) ⊂ f(∩Aλ) (λ∈Λ)

$X,Y,Λ$ を非空な集合とする。 $f: X→Y$ を単射な写像とし、 $Λ$ を添字集合とする $X$ の部分集合族を $(A_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ とする。

[定理] $\displaystyle \bigcap_{\lambda\in\Lambda} f(A_\lambda) \subset f\left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda\right)$

[証明]
まず、
$\displaystyle y\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda} f(A_\lambda)$ を任意に取る。
集合族の共通部分の定義より、
各 $\displaystyle \lambda\in\Lambda$ に対して、 $\displaystyle y\in f(A_\lambda)$
像の定義より、
各 $\displaystyle \lambda\in\Lambda$ に対して、ある $\displaystyle x_\lambda\in A_\lambda$ が存在し、 $\displaystyle y=f(x_\lambda)$

次に、
固定した $\displaystyle \lambda_0\in\Lambda$ に対して
$\displaystyle y=f(x_{λ_0})$ となる $\displaystyle x_{λ_0}\in A_{\lambda_0}$ を一つ選ぶ。
任意の $\displaystyle \lambda\in\Lambda$ に対して $\displaystyle y=f(x_\lambda)$ を満たす $\displaystyle x_\lambda$ が存在する。
この時、 $\displaystyle y=f(x_{\lambda_0})=f(x_\lambda)$ が成り立ち、 $f$ の単射性から、 $\displaystyle x_{\lambda_0}=x_\lambda$ である。 $\displaystyle x_\lambda\in A_\lambda$ より $\displaystyle x_{\lambda_0}\in A_\lambda$ も成り立つ。これが全ての $\displaystyle \lambda$ について言えるため、 $\displaystyle x_{\lambda_0}\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda$ も成り立つ。

したがって $\displaystyle y=f(x_{\lambda_0})\in f\left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda\right)$
よって $\displaystyle \bigcap_{\lambda\in\Lambda} f(A_\lambda) \subset f\left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda\right)$
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fが単射のとき、∩f(Aλ) (λ∈Λ) ⊂ f(∩Aλ) (λ∈Λ)