確率変数 は成功確率 の失敗回数型の幾何分布に従うとする。確率質量関数は で、幾何分布ってなんだっけ？ 確率 で成功、 で失敗するベルヌーイ試行を、「成功が出るまで」「独立に」繰り返す。確率変数 を「最初の成功が出るまでに生じる失敗の回数」と定め…

算術的に非負の整数を指示関数で表す 任意の非負の整数を とすると、となる。 算術的に非負の実数を指示関数で表す 任意の非負の実数を とすると、となる。 非負の確率変数を指示関数で表す 以下離散型で考える。 は非負の離散型確率変数とする。さて、 は …

非負の整数上で確率を持つ離散型確率変数 を考える。非負の整数 に対して累積分布関数を とする。 が存在するとき、次が成り立つことを示せ： 解答 非負の離散型確率変数 は指示関数の和としてと表せる。よって期待値の線形性より ちなみに が非負連続型確率…

チェビシェフの不等式 任意のについて、標準化した確率変数の絶対値が 以上となる確率は、 で抑えることができる。つまり、任意の確率変数 （平均 、標準偏差 ）に対して と置くと、 マルコフの不等式 非負の確率変数 および任意の について、 である。した…

括弧のエスケープが面倒なので、brackやbraceを使うと良い。 例：集合 コード A = \left\lbrace \frac{1}{x+1} \middle| 0 \lt x \lt 1 \right\rbrace レンダリング 例：期待値 コード E\left\lbrack \frac{1}{X+1} \middle| Y=y \right\rbrack レンダリング

ポアソン分布の定義 の期待値 上記の別解 より の期待値

多項分布 全部で 種類のカテゴリのいずれか1つが出現する試行を、独立に 回行うことを考える。 カテゴリ の出現確率を 確率の総和 とし、 カテゴリ の出現回数を確率変数 とする。但し が常に成り立つ。さてこのとき、確率ベクトル は多項分布に従い、と表す…

お気持ち： 同時分布を周辺化するときの不等式変形をなるべく明示的に具体的に手続き的に言語化して書き残そうと思った。なぜかというと統計学の教科書などではこのような不等式変形がどんな意図でなぜどのようにその最終形に至ったのか、ほぼ省略して書かれ…

領域 の考察 今回は、平面上の領域について、その断面と射影を考えてみる。 を固定した場合 を固定して考えると、条件 より が成り立つ。この断面が非空であるためには、固定した 自身が領域 に含まれる必要がある。したがって、 が有効な範囲となる。 を固…

問題 が与えられている。 Q1) が与えられる時、領域 の中で はどの範囲に属するか？ Q2) が与えられる時、領域 の中で はどの範囲に属するか？ Q3) 領域 を 軸に射影した時の の範囲、 軸に射影した時の の範囲を求めよ。 A1) 固定断面 領域の条件に代入して…