axjack's blog

axjack is said to be an abbreviation for An eXistent JApanese Cool Klutz.

AB = E ならば BA = Eをランクを用いて示す

チャート式シリーズ 大学教養 線形代数を買ってから、行列の構造、特に「ランク」の理解が深まりました。ということでタイトルの命題の証明です。

AB = E ならば BA = E

AもBもn次正方行列、Eはn次単位行列とします。
ここで、rankA = r ≦ n , rankB = s ≦ n とし、rankE = nです。

まず、基本行列Pを左からAに掛けた結果をPA = X とすると、
rankPA = rankA = r = rankX です。また、rankP = nです。

次に、PA = Xを用い、P(AB) = PE = P および (PA)B = XB を得、総じて XB = P を得ます。

さて、XB = P のランクについて考えると、右辺:rankP = nなので rankXB = nを得ます。
rankXB = n ということは、rankX = nかつrankB = n ということが分かります。

ここで、XはAをPを用いて階段化した行列であり、
なおかつrankX = nよりXは正則であることから、
X = Eを得ます。したがって、XB = P ⇔ EB = P ⇔ B = P です。

以上より、仮定はAB = Eだったので
AB = E ⇔ AP = E ⇔ P = A‪⁻¹‬ですので、
BA = PA = A‪⁻¹‬A = E となります。■

参考

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