axjack's blog

axjack is said to be an abbreviation for An eXistent JApanese Cool Klutz.

カーネルは線型空間

示したいこと

線型空間V, W に対して線型写像  \displaystyle T:V \rightarrow Wが与えられているとする。
この時、カーネル \displaystyle \rm Ker \ T = \{ x \in V | T(x) = 0_w \in W  \}線型空間であることを示す。

証明

 \displaystyle  \forall x, y \in \rm Ker \ T および \displaystyle \forall a, b \in \mathbb{R} をそれぞれ取る。
すると、 \displaystyle ax+by \in V より、 \displaystyle  T(ax+by) = T(ax) + T(by) = aT(x) + bT(y) = a0_w + b0_w = 0_w + 0_w = 0_w \in W
となるので、Ker T の任意の元はベクトル和とスカラー倍に関して閉じていることが分かった。よってKer T は線型空間であることが示せた。

axjack is said to be an abbreviation for An eXistent JApanese Cool Klutz.