axjack's blog

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対角化

示したいこと

正方行列Aに対してR‪⁻¹‬AR=Λと対角化できるような正則行列Rが存在すると仮定する。この時、ΛはAの固有値を並べた対角行列であることを示そう。即ちΛの対角成分λi はAu=auを満たす固有値aであることを示せばよい。ここでu≠0とする。

証明

Au=auよりAu-au=0⇔(A-aI)u=0. 
さてA-aIが逆行列を持つと仮定すると、
(A-aI)‪⁻¹‬(A-aI)u=0⇔u=0となり仮定に反する。

ゆえにA-aIは特異行列であるから|A-aI|=0を満たす。

さて、|R‪⁻¹‬|と|R|を両側から掛け算すると、
|R‪⁻¹‬||A-aI||R|=0より
|R‪⁻¹‬(A-aI)R|=0から
|R‪⁻¹‬AR-aR‪⁻¹‬R|=0⇔|Λ-aI|=0となる。

Λは対角行列なので行列式を展開すると、
(λ1-a)(λ2-a)...(λn-a)=0より
a = λ1,λ2,...,λnとなるから
Aの固有値aは対角行列の対角成分λiに等しいことが示せた
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参考

対角化された行列の対角成分は固有値 - 理数アラカルト -