axjack's blog

axjack is said to be an abbreviation for An eXistent JApanese Cool Klutz.

センター試験2019 数学I・数学Aの統計の問題だけを解く。数学Ⅱ・数学Bの統計もちょっとだけ解く。

www.toshin.com

統計のみ解いて、確率は手を出さないことにします・・・。問題文はリンク先または適当にググってください。

数学I・数学A〔2〕

(1)

2013年のヒストグラム

図1によると、2013年のboxplot(箱ひげ図)は、

  • 最小値:72
  • 1Q:76
  • 中央値:81
  • 3Q:89
  • 最大値:136

周辺と読み取れるので、3となる。

2017年のヒストグラム

図1によると、2017年のboxplotは、

  • 最小値:80
  • 1Q:90
  • 中央値:93
  • 3Q:95
  • 最大値:122

周辺と読み取れるので、4となる。

(2)

選択肢を吟味する。

  • 0番:モンシロチョウとツバメの各初見日は、図3によると同じに見える。図3で言うと一番左の縦線が最小値。よって正しい。
  • 1番:モンシロチョウの初見日の最大値はツバメの初見日の最大値よりもどうだろうか?図3で言うと一番右側の縦線を比較する。すると、モンシロチョウの初見日の最大値はツバメのそれよりも右側にあるので大きいと言える。よって正しい。
  • 2番:中央値は図3の真ん中にある太い縦線である。ツバメの太い縦線よりも右側にモンシロチョウの太い縦線が位置している。つまり中央値もモンシロチョウの方が大きい。よって正しい。
  • 3番:四分位範囲を比較する。モンシロチョウの四分位範囲は、3Q-1Q = 103 - 84 = 20。ツバメの四分位範囲は、3Q - 1Q = 97 - 88 = 9ぐらいと読めるので、3倍よりは小さいと思われる。よって正しい。
  • 4番:モンシロチョウの四分位範囲は、15日以下か? 少なくとも四分位範囲が85〜100を含んでいるので15日よりも大きいと確実に言える。よって正しくない
  • 5番:ツバメの四分位範囲は、15日以下か?少なくとも四分位範囲が90〜95を含んでいるので5日よりは大きい。しかし、残りの範囲を足しても10日加算とはならない。よって正しい。
  • 6番:モンシロチョウとツバメの初見日が同じところが少なくとも4地点あるか?図4の傾き1の直線は、モンシロチョウとツバメの初見日が、それぞれ同じであることを示している。この直線上に点は4つあるので、同じ初見日を持つ観測点は4地点あると言える。ところで「散布図の点には重なった点が2点」あるということなのでこの直線上に重なった点がもしあれば+2地点の可能性がある。ということで少なくとも4地点である。よって正しい。
  • 7番:図4の点線の直線は傾き1±切片15な線である。この範囲に収まれば初見日の差は15日以下と言えるがしかし、よく見ると、点(69,86)および点(105,88)あたりに±15を超えた点がある。よって正しくない

(3)

標準化の話である。標準化すると平均値:0, 分散:1となる。(従って標準偏差も1)

  • 偏差の平均値は0
  • X'の平均値は0
  • X'の標準偏差は1
  • 2σで約95%カバーできるので2

復習も兼ねてそれぞれ導出する

基本数式


\displaystyle X = \{x_1, x_2, \dots , x_n\} \\
\displaystyle \bar{x} = \frac{1}{n}\sum{x_i} \leftarrow const. \\
\displaystyle n\bar{x} = \sum{x_i} \\
\displaystyle s^{2} = \frac{1}{n}\sum{ (x_i - \bar{x} ) ^ {2} }  \leftarrow const. \\
\displaystyle s = \sqrt{s^{2}} = \sqrt {   \frac{1}{n}\sum{ (x_i - \bar{x} ) ^ {2} }  } \leftarrow const.

偏差の平均値は0


\displaystyle \overline{x - \bar{x}} = \frac{1}{n} \sum{ ( x_i - \bar{x}  ) } =   \frac{1}{n} ( \sum{ x_i } - \sum{\bar{x}} )\\
= \displaystyle \frac{1}{n}( \sum{ x_i } - n\bar{x})  \\
=  \displaystyle \frac{1}{n} (\sum{ x_i } -  \sum{ x_i })  \\
= \displaystyle \frac{1}{n} \times 0 = 0 \\

X'の平均値は0

 \displaystyle  x_i' = \frac{x_i - \bar{x} }  { s }

より、

 \displaystyle  \bar{X'} = \frac{1}{n} \sum{x_i'} = \frac{1}{n}  \sum{  \frac{x_i - \bar{x}}{s}}  \\
\displaystyle = \frac{1}{n} \frac{1}{s}  \sum{ (x_i - \bar{x}) } = \frac{1}{s}  \frac{1}{n}  \sum{ (x_i - \bar{x}) } \\
= \displaystyle \frac{1}{s} \times \overline{x - \bar{x}}  = \frac{1}{s} \times 0 = 0

X'の標準偏差は1

X'の分散を求めれば標準偏差は分散の平方根で出せる。諸々の代入は上述の結果を用いる。

 \displaystyle s'^{2}  = \frac{1}{n}\sum{ ( x_i' - \bar{X'} ) ^ {2} }  = \frac{1}{n}\sum{ ( x_i' - 0 } ) ^ {2} \\
= \displaystyle \frac{1}{n} \sum{ x_i'  ^ {2}  }  \\
= \displaystyle \frac{1}{n} \sum{  (\frac{x_i - \bar{x} }  { s } ) ^ {2} } \\
= \displaystyle \frac{1}{n} \frac{1}{s^{2}} \sum{ ( x_i - \bar{x}  ) ^{2} } \\
= \displaystyle \frac{1}{s^{2}}  \frac{1}{n} \sum{ ( x_i - \bar{x}  ) ^{2} } \\
= \displaystyle \frac{1}{s^{2}}  s^{2} \\
= \displaystyle 1

となるので、

s'^{2} = 1 より  s' = \sqrt{ s'^{2} } = \sqrt{ 1 } = 1

解答

  • ソ:3
  • タ:4
  • チ:4
  • ツ:7
  • テ:0
  • ト:0
  • ナ:1
  • ニ:2

数学2・数学Bは?

暗算だけだと解けなかった。メモのみ。

M ~ B(50, 0.08) = B(n, p)
E[M] = np =50 * 0.08 = 4.0
V[M] = np(1-p) = 4 * (1-0.08) = 3.68 ≒ 3.7
1.64と来れば, 90%信頼区間, 両側10%。

感想

受験生の皆さんは受験お疲れ様でした。

  • 数Ⅰの方:選択肢は多いけれども基本的な事柄が問われている。図の読み取りは大事。
  • 数Ⅱの方:やはり基本的な事柄が問われている。最近の高校生は信頼区間なんて勉強するんだなぁ。
axjack is said to be an abbreviation for An eXistent JApanese Cool Klutz.