統計検定2級 2018年6月問4の2

2010年の輸出物価指数を $p_0$ とすると、2011年の輸出物価指数 $p_1$ は変化率 $r_0$ を用いて

$p_1 = p_0 (1+r_0)$

と書ける。

以下同様に書き出すと、
$p_2 = p_1(1+r_1)\\ p_3 = p_2(1+r_2)\\ p_4 = p_3(1+r_3)\\ p_5 = p_4(1+r_4)\\$

の式が得られる。さて、前年からの変化率が常にrであるならば

$p_5 = 100$

となるので、得られた式を下から上に掛けて代入していくと、

$100 = p_5 = p_0\times\prod_{i=0}^{4}(1 + r_i )$

となる。ところで、「変化率が常にrである」とは $1 + r_i$ を $1+r$ と置き換えるに等しい。
したがって、

$100 = p_5 = p_0\times\prod_{i=0}^{4} (1+r)$

を得る。よって、 $p_0 = 89.5$ を代入し、

$100 = p_5 = 89.5\times\prod_{i=0}^{4} (1+r) \\ = 89.5\times(1+r)^5\\ \Leftrightarrow \frac{ 100 } {89.5} = ( 1 + r )^5\\ \Leftrightarrow ( \frac{ 100 } {89.5} )^{\frac{1}{5}} = 1 + r \\ \Leftrightarrow ( \frac{ 100 } {89.5} )^{\frac{1}{5}} - 1 = r \\$

となる。答えは②である。

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統計検定2級 2018年6月問4の2