axjack's blog

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統計検定2級 2018年6月 問4の2

2010年の輸出物価指数をp_0とすると、2011年の輸出物価指数p_1は変化率r_0を用いて


p_1 = p_0 (1+r_0)

と書ける。

以下同様に書き出すと、

p_2 = p_1(1+r_1)\\
p_3 = p_2(1+r_2)\\
p_4 = p_3(1+r_3)\\
p_5 = p_4(1+r_4)\\

の式が得られる。さて、前年からの変化率が常にrであるならば

 p_5 = 100

となるので、得られた式を下から上に掛けて代入していくと、

100 = p_5 = p_0\times\prod_{i=0}^{4}(1 + r_i )

となる。ところで、「変化率が常にrである」とは 1 + r_i 1+rと置き換えるに等しい。
したがって、

100 = p_5 = p_0\times\prod_{i=0}^{4} (1+r)

を得る。よって、p_0 = 89.5 を代入し、

 
100 = p_5 = 89.5\times\prod_{i=0}^{4} (1+r) \\
= 89.5\times(1+r)^5\\
\Leftrightarrow \frac{ 100 } {89.5} = ( 1 + r )^5\\
\Leftrightarrow  ( \frac{ 100 } {89.5} )^{\frac{1}{5}} =  1 + r \\
\Leftrightarrow ( \frac{ 100 } {89.5} )^{\frac{1}{5}} - 1 =  r \\

となる。答えは②である。