コーシー分布 - axjack's blog

準備：微分の公式など

$\displaystyle (\frac{f}{g})' = \frac{f'g - fg'}{g^2} \\ \displaystyle (\sin \theta)' = \cos \theta \\ \displaystyle (\cos \theta)' = -\sin \theta \\ \displaystyle (\tan \theta)' = (\frac{\sin \theta}{\cos \theta} )' = \frac{(\sin \theta)'\cos \theta - \sin \theta(\cos \theta)'}{\cos^{2} \theta} = \frac{ 1 }{ \cos^{2} \theta } \\ \displaystyle ( 1 + \tan^{2} \theta)^{-1} = ( \frac{1}{\cos^2 \theta} )^{-1} = \cos^{2} \theta$

コーシー分布の積分

$\displaystyle f(x) = \frac{1}{ \pi ( 1 + x^2) }$ を $x \in \mathbb{R}$ で積分すると、 $\displaystyle x = \tan \theta$ と置換し、

$\displaystyle \int^{\infty}_{-\infty} \frac{ 1 }{ \pi( 1 + x^2 ) } dx = \int^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\pi} \cos^{2} \theta \frac{1}{\cos^2 \theta } d\theta = \int^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\pi} d\theta = \frac{1}{\pi} \left[ \theta \right]^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{\pi} ( \frac{\pi }{ 2} - \frac{-\pi}{2}) = 1$

となる。