axjack's blog

axjack is said to be an abbreviation for An eXistent JApanese Cool Klutz.

座標軸の回転

これなら分かる最適化数学のp.48にある座標軸の回転について、回転の式を導出してみます。 f:id:axjack:20200706211716p:plain

x成分の計算

f:id:axjack:20200706211844p:plain

 \rm \overline{Oa} = x'cos\theta\rm \overline{ax} = y'sin\theta\rm \overline{Ox} =\overline{Oa}  - \overline{ ax } より \rm x = x'cos\theta - y'sin\thetaとなります。

y成分の計算

f:id:axjack:20200706212253p:plain

 \rm \overline{Ob} = y'cos\theta \rm \overline{yb} = \overline{Pb'};\overline{Ox'}=\overline{y'P}; \overline{yb} = x'sin\thetaより \rm y = x'sin\theta + y'cos\theta となります。

まとめると

以上より、 \rm x = x'cos\theta - y'sin\theta \rm y = x'sin\theta + y'cos\theta を行列形式にまとめて、

 \displaystyle \begin{bmatrix} x \\\\ y \end{bmatrix} =   \begin{bmatrix} cos\theta  & -sin\theta \\\\ sin\theta & cos\theta \end{bmatrix}  \begin{bmatrix} x' \\\\ y' \end{bmatrix}

となります。

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