axjack's blog

axjack is said to be an abbreviation for An eXistent JApanese Cool Klutz.

2018年11月 統計検定2級 問9

この問題をなぜ解くのか

前にこんなこと

統計検定であって確率検定ではないので、サイコロを7回投げる時2以下の目が出る確率を解けるようになってもなんだかなぁ

統計検定2級に合格したので勉強法やら参考書などを書いておきます。 - axjack's blog

を書きました。がしかし、統計検定 準1級の勉強をしていく中「やっぱ確率もちゃんと解けないとダメじゃん😢」と気持ちが一転したので改めてちゃんと解いてみようと思った次第です。

問題文の概要

どの面も等確率で出る6面のサイコロを7回投げる。2以下の目が出る回数をXとする。

  • 問(1):P(X = x+1)とP(X = x)の比、i.e.  \frac{ P(X=x+1) }{ P(X=x) }を求めよ
  • 問(2):P(X = x) が最大となるxは?

解答

問(1)

\displaystyle X_i を出目が2以下の時に1、そうでない時を0とすると\displaystyle X_iはベルヌーイ分布:Bin(1,p)に従う。ここでp=1/3である。この時、\displaystyle X = \sum X_i は二項分布:Bin(n,p)に従う。よって、確率質量関数は\displaystyle P(X=k)= {}_n \mathrm{ C }_k p^{k} (1-p)^{n-k} となる。ここで、n=7, p=1/3を代入するとP(X=x)とP(X=x+1)はそれぞれ、

\displaystyle P(X=x) = {}_7 \mathrm{ C }_x (1/3)^x (2/3)^{7-x}
\displaystyle P(X=x+1) = {}_7 \mathrm{ C }_{x+1} (1/3)^{x+1} (2/3)^{7-(x+1)}

となる。すると、

 \displaystyle \frac{P(X=x+1)}{P(X=x)} \\


\displaystyle = \frac{   {}_7 \mathrm{ C }_{x+1} (1/3)^{x+1} (2/3)^{7-(x+1)}   } {  {}_7 \mathrm{ C }_x (1/3)^x (2/3)^{7-x}   } \\



\displaystyle = \frac{   {}_7 \mathrm{ C }_{x+1} (1/3)^{x} (1/3) (2/3)^{7-x} (2/3)^{-1}  } {  {}_7 \mathrm{ C }_x (1/3)^x (2/3)^{7-x}   }   \\

\displaystyle = \frac{   \frac{ 7!  }{ (7-(x+1))!  (x+1)! }  (1/3)^{x} (1/3) (2/3)^{7-x} (2/3)^{-1}  }{  \frac{7!}{(7-x)!x!}   (1/3)^x (2/3)^{7-x}   }\\

\displaystyle = \frac{   \frac{ 7!  }{ (6-x)!  (x+1)x! }  (1/3)^{x} (1/3) (2/3)^{7-x} (2/3)^{-1}  }{  \frac{7!}{(7-x)(6-x)!x!}   (1/3)^x (2/3)^{7-x}   }   \\

\displaystyle = \frac   {  \frac{  1  }{ x+1  }  (1/3) (3/2)  }{  \frac{1}{7-x}  }    = \frac{ 7-x  }{  2x+2 }

となる。よって、 \displaystyle \frac{P(X=x+1)}{P(X=x)}   =  \frac{ 7-x  }{  2x+2 }

問(2)

P(X=x)が最大となるxを \displaystyle \frac{P(X=x+1)}{P(X=x)}   =  \frac{ 7-x  }{  2x+2 }  = Q(x) を用いて考えてみると、Q(x)が1より大であればP(X=x+1) > P(x)であると言えるし1未満であればP(X=x+1) < P(x)と言える。具体的にxへ0から6を代入すると、

x Q(x) 判定
0 7/2 > 1 P(1) > P(0)
1 6/4 > 1 P(2) > P(1)
2 5/6 < 1 P(3) < P(2)
3 4/8 < 1 P(4) < P(3)
4 3/10 < 1 P(5) < P(4)
5 2/12 < 1 P(6) < P(5)
6 1/14 < 1 P(7) < P(6)

となる。関数の増減表のように判定の列を眺めれば、P(x)はP(2)がピークであることからP(X = x) が最大となるxは2である。