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2019年6月 統計検定準一級 問3の[1]の(1)(2)

問3の[1]の(1)(2)

問3の[1]の(1)

母比率をpとする。また、\hat{p}は近似的に正規分布に従う。 n = 475帰無仮説H_0:p=0.05、対立仮説H_1:p>0.05の片側検定。帰無仮説のもとで\hat{p}が0.0733以上となる確率は?

解答

帰無仮説のもと、\displaystyle{ P(z \ge \frac{\hat{p} - p}{\sqrt{ \frac{p(1-p)}{n}} }     } ) を計算すれば良い。数字を代入すると、\displaystyle{ P ( z \ge \frac {0.0733 - 0.05} {\sqrt{  \frac{0.05(1-0.05)}{475}  }} ) = P(z \ge 2.33) = 0.0099 \simeq 0.01}

問3の[1]の(2)

母比率をpとする。また、\hat{p}は近似的に正規分布に従う。 帰無仮説H_0:p=0.05、対立仮説H_1:p=0.1有意水準2.5%の片側検定。検出力が90%となるような例数nは?

解答

帰無仮説のもとで有意水準\alpha = 0.025より、\displaystyle{ P( z_0 \ge \frac{ \hat{p} -0.05 } {\sqrt{ \frac{0.05(1-0.05)}{n} }} ) = 0.025}

また、対立仮説のもとで検出力1-\beta = 0.9 \iff \beta = 0.1 より、\displaystyle{ P( z_1 \le \frac{ \hat{p}-0.1} {\sqrt{  \frac{0.1(1-0.1)}{n} }} )   = 0.1 }

となるので、

\displaystyle{ \hat{p} = 0.05 + 1.96\sqrt{\frac{0.05(1-0.05) }{n}   }   }

\displaystyle{ \hat{p} = 0.1 - 1.28\sqrt{\frac{0.1(1-0.1) }{n}   }   }

nについて解けば良い。これを解くと、n=263.2000\simeq264