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2019年6月統計検定準一級問3の[1]の(1)(2)

復習統計

問3の[1]の(1)(2)

問3の[1]の(1)

母比率を $p$ とする。また、 $\hat{p}$ は近似的に正規分布に従う。 $n = 475$ 、帰無仮説 $H_0:p=0.05$ 、対立仮説 $H_1:p>0.05$ の片側検定。帰無仮説のもとで $\hat{p}$ が0.0733以上となる確率は？

解答

帰無仮説のもと、 $\displaystyle{ P(z \ge \frac{\hat{p} - p}{\sqrt{ \frac{p(1-p)}{n}} } } )$ を計算すれば良い。数字を代入すると、 $\displaystyle{ P ( z \ge \frac {0.0733 - 0.05} {\sqrt{ \frac{0.05(1-0.05)}{475} }} ) = P(z \ge 2.33) = 0.0099 \simeq 0.01}$

問3の[1]の(2)

母比率を $p$ とする。また、 $\hat{p}$ は近似的に正規分布に従う。帰無仮説 $H_0:p=0.05$ 、対立仮説 $H_1:p=0.1$ 、有意水準 $2.5%$ の片側検定。検出力が $90%$ となるような例数 $n$ は？

解答

帰無仮説のもとで有意水準 $\alpha = 0.025$ より、 $\displaystyle{ P( z_0 \ge \frac{ \hat{p} -0.05 } {\sqrt{ \frac{0.05(1-0.05)}{n} }} ) = 0.025}$

また、対立仮説のもとで検出力 $1-\beta = 0.9 \iff \beta = 0.1$ より、 $\displaystyle{ P( z_1 \le \frac{ \hat{p}-0.1} {\sqrt{ \frac{0.1(1-0.1)}{n} }} ) = 0.1 }$

となるので、

$\displaystyle{ \hat{p} = 0.05 + 1.96\sqrt{\frac{0.05(1-0.05) }{n} } }$

$\displaystyle{ \hat{p} = 0.1 - 1.28\sqrt{\frac{0.1(1-0.1) }{n} } }$

を $n$ について解けば良い。これを解くと、 $n=263.2000\simeq264$

axjack is said to be an abbreviation for An eXistent JApanese Cool Klutz.