統計学実践ワークブック問5.5より。
問題の概要
4種類のカードを等確率無作為復元抽出で引く。
- [1] 4種類のカードを全て揃えるまでの、回数の期待値
- [2] あらたに5種類目のカードが追加されたとする。
- x: はじめの4種類を集めてから、追加の5種類目を揃えるまでの、回数の期待値
- y: はじめから5種類を全て揃えるまでの、回数の期待値
- このとき、xとyの差を求めよ
[1]
幾何分布の復習
成功確率pのベルヌーイ試行において、はじめて成功するまでに起こる「失敗の回数」をXとすると、Xは幾何分布に従う。ここでX = kとなる確率は、、k = 0,1,...となる。Xの期待値をもとめるため、Xの確率母関数を計算すると、
である。
期待値E[X]は確率母関数をsで微分してs=1を代入したものとなる*1ので、
より、s = 1を代入し、
となる。
ここで、Xは『はじめて成功するまでに起こる「失敗の回数」』であるから、W = X+1とすれば「はじめて成功するまでの回数」の確率変数に変換することができる。Wの期待値は
となる。つまり、初めて成功するまでの回数を確率変数とする幾何分布の期待値は、成功確率の逆数となる。
4種類のカードを全て揃えるまでの、回数の期待値
4種類のカードを全て揃えるということは、
確率変数 | 成功確率 | 失敗確率 | 幾何分布に従う時の意味 |
1種類目を引き当てる | |||
1種類揃い済み、2種類目を引き当てる | |||
2種類揃い済み、3種類目を引き当てる | |||
3種類揃い済み、4種類目を引き当てる |
という確率変数 についての和の期待値を求めることに等しい。
確率変数ごとに確率が異なる(揃うたびに成功確率は小さくなる)ことに注意しつつ、それぞれ幾何分布に従っていることを踏まえると、求める期待値は、
となる。
[2]
- x: はじめの4種類を集めてから、追加の5種類目を揃えるまでの、回数の期待値
- y: はじめから5種類を全て揃えるまでの、回数の期待値
について、yは、、…、について和の期待値を求めれば良いので、 となる。*2
一方、xについては[1]の期待値に の期待値を加えたものとなるので、
となる。
以上より、 となる。